Encontre um conjunto de geradores para cada um dos espaços vetoriais abaixo
V=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x-2 y+3 z=0\right\};

Passo 1

O enunciado pede um conjunto de geradores para o subespaço
V = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x - 2y + 3z = 0\}.
O conteúdo aqui é encontrar uma base (ou apenas um conjunto que gere) de um plano em \mathbb{R}^3 definido por uma equação linear homogênea.

Passo 2

Para parametrizar V, resolvemos a equação
x - 2y + 3z = 0
em função de dois parâmetros livres. Por exemplo, isolamos x:
x = 2y - 3z.

Passo 3

Agora escolhemos parâmetros
y = s,\quad z = t,
onde s,t\in\mathbb{R}. Logo
(x,y,z) = (2s - 3t,\;s,\;t) = s\,(2,1,0) \;+\; t\,(-3,0,1).
Isso mostra que todo vetor de V é combinação linear de (2,1,0) e (-3,0,1).

Resposta

Um conjunto de geradores é
\{(2,1,0),\,(-3,0,1)\}.

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