Considere os pontos A(1,-2), B(1,3), C(1,4,-2) e D(1,-2,-3) e os vetores u=(1,4), v=(-2 .- 3), w=(3,4,-2) e n=(1,-1,2). Calcule o que se pede:
Calcule os produtos internos entre u e v e entre w e n.

Passo 1

O enunciado fornece os vetores
\displaystyle u=(1,4), \displaystyle v=(-2,-3) em \mathbb{R}^2
e
\displaystyle w=(3,4,-2), \displaystyle n=(1,-1,2) em \mathbb{R}^3.
Pede-se o produto interno (ou escalar) entre u e v e entre w e n. Usaremos a definição:
em \mathbb{R}^2,
\langle u,v\rangle = u_1v_1 + u_2v_2,
e em \mathbb{R}^3,
\langle w,n\rangle = w_1n_1 + w_2n_2 + w_3n_3.

Passo 2

Calcular \langle u,v\rangle. Substituindo (u_1,u_2)=(1,4) e (v_1,v_2)=(-2,-3), temos
\langle u,v\rangle = 1\cdot(-2) \;+\; 4\cdot(-3) = -2 - 12 = -14.

Passo 3

Calcular \langle w,n\rangle. Com (w_1,w_2,w_3)=(3,4,-2) e (n_1,n_2,n_3)=(1,-1,2),
\langle w,n\rangle = 3\cdot1 \;+\; 4\cdot(-1) \;+\; (-2)\cdot2 = 3 - 4 - 4 = -5.

Resposta

\langle u,v\rangle = -14
\langle w,n\rangle = -5

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