Determine a equação do plano que contém as seguintes retas:
\begin{gathered} r:(0,1,1)+t \cdot(1,0,1), t \in \mathbb{R} ; \\\ s:(2,20,0)+k \cdot(0,20,0), k \in \mathbb{R} . \end{gathered}
Determine ainda o cosseno do ângulo entre as retas.

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que contenha as retas
r:\;(0,1,1)+t\,(1,0,1),\quad s:\;(2,20,0)+k\,(0,20,0),
e o cosseno do ângulo entre elas. O conteúdo é geometria analítica no espaço: extrair pontos e vetores diretores, testar coplanaridade e usar a fórmula do cosseno do ângulo entre vetores.

Passo 2

Extraímos de cada reta um ponto e seu vetor diretor:
– Para r: ponto P_r=(0,1,1) e vetor diretor v_r=(1,0,1).
– Para s: ponto P_s=(2,20,0) e vetor diretor v_s=(0,20,0).

Passo 3

Para que exista um plano contendo ambas as retas, elas devem ser paralelas ou concorrer. Igualando
P_r + t\,v_r = P_s + k\,v_s
obtemos o sistema
\begin{cases} t = 2,\\\\ 1 = 20 + 20\,k,\\\\ 1 + t = 0. \end{cases}
Das equações t=2 e 1+t=0 vem 2=-1, impossível. Além disso v_r não é múltiplo de v_s, logo não são paralelas.

Passo 4

Concluímos que as retas são reversas (skew) e, portanto, não existe plano que as contenha.

Passo 5

O cosseno do ângulo \theta entre elas vem de
\cos\theta = \frac{v_r\cdot v_s}{\|v_r\|\;\|v_s\|}.
Calculamos
v_r\cdot v_s = (1,0,1)\cdot(0,20,0)=0, \quad \|v_r\|=\sqrt{1^2+0^2+1^2}=\sqrt2, \quad \|v_s\|=\sqrt{0^2+20^2+0^2}=20,
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\cos\theta = 0.

Resposta

Não existe plano que contenha as retas r e s (são reversas).
O cosseno do ângulo entre elas é 0.

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