Sejam as retas perpendiculares r e s dadas pelas equações seguintes:
\begin{gathered} r:(5,7,1)+t \cdot(2,3,0), t \in \mathbb{R} ; \\\ s:(7,-3,1)+k \cdot(m,-2,0), k \in \mathbb{R} . \end{gathered}
Determine o valor de m. Em seguida, determine o ponto de intersecção das retas. Determine, ainda, a equação do plano que as contém.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em \mathbb{R}^3:
r: (5,7,1) + t\,(2,3,0),\;t\in\mathbb{R},
s: (7,-3,1) + k\,(m,-2,0),\;k\in\mathbb{R},
e afirma que elas são perpendiculares. Precisamos então (1) achar m usando produto escalar, (2) encontrar o ponto de interseção resolvendo o sistema para t e k, e (3) obter a equação do plano que contém ambas as retas, usando vetores diretores e produto vetorial.

Passo 2

Para que r e s sejam perpendiculares, basta que seus vetores diretores sejam ortogonais. Os vetores diretores são
\mathbf{v}_r = (2,3,0),\qquad \mathbf{v}_s=(m,-2,0).
O produto escalar deve ser zero:
\mathbf{v}_r\cdot\mathbf{v}_s = 2m + 3(-2) + 0\cdot0 = 2m - 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad m = 3.

Passo 3

Com m=3, a reta s fica
s: (7,-3,1) + k\,(3,-2,0).
Para achar o ponto de interseção, igualamos as coordenadas de r e s:
5 + 2t = 7 + 3k,\quad 7 + 3t = -3 -2k,\quad 1 = 1.
Da primeira vem 2t = 2 + 3k, ou t = 1 + \tfrac32\,k.
Da segunda vem 3t = -10 -2k, ou t = -\tfrac{10+2k}3.
Igualando essas expressões:
1 + \tfrac32\,k = -\tfrac{10+2k}3 \;\Longrightarrow\; 6 + 9k = -20 -4k \;\Longrightarrow\; 13k = -26 \;\Longrightarrow\; k = -2,
e então t = 1 + \tfrac32(-2) = -2. Substituindo em r (ou s) dá o ponto
P = (5 + 2(-2),\;7 + 3(-2),\;1) = (1,1,1).

Passo 4

As duas retas estão em um mesmo plano que contém o ponto P e os vetores \mathbf{v}_r e \mathbf{v}_s. Um vetor normal ao plano é
\mathbf{n} = \mathbf{v}_r \times \mathbf{v}_s = (2,3,0)\times(3,-2,0) = (0,0,-13),
que aponta na direção de (0,0,1). A equação do plano usando P=(1,1,1) e \mathbf{n}=(0,0,1) é
(0,0,1)\cdot\bigl((x,y,z)-(1,1,1)\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad z - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad z = 1.

Resposta

m = 3
Ponto de interseção: (1,1,1)
Equação do plano: z = 1

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