Sejam as retas perpendiculares r e s dadas pelas equações seguintes:
Determine o valor de
. Em seguida, determine o ponto de intersecção das retas. Determine, ainda, a equação do plano que as contém.
Passo 1
O enunciado dá duas retas em
:
e afirma que elas são perpendiculares. Precisamos então (1) achar
usando produto escalar, (2) encontrar o ponto de interseção resolvendo o sistema para
e
, e (3) obter a equação do plano que contém ambas as retas, usando vetores diretores e produto vetorial.
Passo 2
Para que
e
sejam perpendiculares, basta que seus vetores diretores sejam ortogonais. Os vetores diretores são
O produto escalar deve ser zero:
Passo 3
Com
, a reta
fica
Para achar o ponto de interseção, igualamos as coordenadas de
e
:
Da primeira vem
, ou
.
Da segunda vem , ou
.
Igualando essas expressões:
Da segunda vem
Igualando essas expressões:
e então
. Substituindo em
(ou
) dá o ponto
Passo 4
As duas retas estão em um mesmo plano que contém o ponto
e os vetores
e
. Um vetor normal ao plano é
que aponta na direção de
. A equação do plano usando
e
é
Resposta
Ponto de interseção:
Equação do plano: