(2.5) Determine um vetor ortogonal aos vetores \vec{u}=(0,2,-1) e \vec{v}=(-4,6,-1) e a área do paralelogramo determinado por \vec{u} e \vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^3: \vec{u}=(0,2,-1) e \vec{v}=(-4,6,-1),
e pede um vetor ortogonal a eles e a área do paralelogramo que formam.
Para isso vamos usar o produto vetorial, que em \mathbb{R}^3 gera um vetor perpendicular a \vec{u} e \vec{v} e cuja norma é igual à área do paralelogramo.

Passo 2

O produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} tem componentes dadas por
(\vec{u}\times\vec{v})_1 = u_2v_3 - u_3v_2,
(\vec{u}\times\vec{v})_2 = u_3v_1 - u_1v_3,
(\vec{u}\times\vec{v})_3 = u_1v_2 - u_2v_1.
Substituindo \vec{u}=(0,2,-1) e \vec{v}=(-4,6,-1), temos
(\vec{u}\times\vec{v})_1 = 2\cdot(-1) - (-1)\cdot6 = -2 +6 = 4,
(\vec{u}\times\vec{v})_2 = (-1)\cdot(-4) - 0\cdot(-1) = 4 - 0 = 4,
(\vec{u}\times\vec{v})_3 = 0\cdot6 - 2\cdot(-4) = 0 +8 = 8.
Logo
\vec{u}\times\vec{v} = (4,4,8),
que de fato é ortogonal a \vec{u} e \vec{v}.

Passo 3

A área do paralelogramo é a norma de \vec{u}\times\vec{v}:
\|\vec{u}\times\vec{v}\| = \sqrt{4^2 + 4^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 16 + 64} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}.

Resposta

Um vetor ortogonal é (4,4,8) e a área do paralelogramo vale 4\sqrt{6}.

Exercícios relacionados