Encontre a inversa da matriz A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right).
(5 pontos)

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz triangular superior com uni-dades na diagonal
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
e pede A^{-1}. Vamos usar o método de resolver o sistema
A\,X = I
por substituição regressiva, sabendo que X=A^{-1} será também triangular superior.

Passo 2

Denotando X=(b_{ij})\), o produto \(A\,X=I\) implica, para cada coluna \(j\), o sistema \[\begin{cases} b_{3j} = \delta_{3j},\\\ b_{2j} + b_{3j} = \delta_{2j},\\\ b_{1j} + b_{2j} + b_{3j} = \delta_{1j}, \end{cases}
onde (\delta_{ij}] é o delta de Kronecker.

Passo 3

Da primeira equação temos
b_{3j} = \delta_{3j},
ou seja b_{31}=0, b_{32}=0, b_{33}=1.

Passo 4

Da segunda equação segue
b_{2j} = \delta_{2j} - b_{3j},
logo b_{21}=0, b_{22}=1, b_{23}=-1.

Passo 5

Da terceira equação obtemos
b_{1j} = \delta_{1j} - b_{2j} - b_{3j},
resultando em b_{11}=1, b_{12}=-1, b_{13}=0.

Passo 6

Reunindo todos os b_{ij} na forma matricial, concluímos
A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & -1\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & -1\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

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