É verdade que o conjunto
com a suma + usual e a multiplicação
onde
é um espaço vetorial? O conjunto das matrizes simétricas
é um subespaço vetorial do conjunto das matrizes
? Explique.
Passo 1
O enunciado faz duas perguntas:
) Seja
com a soma usual e a multiplicação escalar definida por
Verificar se
é um espaço vetorial sobre
.
) Se o conjunto das matrizes simétricas
é um subespaço vetorial de
.
Conteúdos necessários: axiomas de espaço vetorial (especialmente a distributividade da multiplicação escalar) e critério de subespaço (não vazio, fechado em soma e em multiplicação escalar).
Passo 2
Recordando os axiomas de espaço vetorial, um ponto crítico é a distributividade da multiplicação escalar sobre soma de escalares:
Passo 3
Vamos testar esse axioma em
. Tome
.
O lado esquerdo é
O lado esquerdo é
O lado direito é
Como
em geral, concluímos que
logo falha a distributividade.
Passo 4
Falhando um dos axiomas de espaço vetorial,
com essa multiplicação escalar não é um espaço vetorial sobre
.
Passo 5
Para o segundo item, um subconjunto
é subespaço vetorial se e somente se:
.
(ou seja, contém o vetor zero).
.
é fechado em soma:
.
.
é fechado em multiplicação escalar:
.
Passo 6
Considere
o conjunto das matrizes simétricas
.
. A matriz zero
é simétrica, então
.
. Se
e
,
então
e
,
então
que é simétrica.
. Para
,
também é simétrica.]
Passo 7
Como
contém o zero, é fechado em soma e em multiplicação escalar, concluímos que é um subespaço de
.