É verdade que o conjunto \left(\mathbb{R}^{3},+, \cdot\right) com a suma + usual e a multiplicação \alpha \cdot(x, y, z)=(\alpha x, \alpha y, z) onde \alpha \in \mathbb{R} é um espaço vetorial? O conjunto das matrizes simétricas 2 \times 2 é um subespaço vetorial do conjunto das matrizes 2 \times 2 ? Explique.

Passo 1

O enunciado faz duas perguntas:
1) Seja V=\mathbb{R}^3 com a soma usual e a multiplicação escalar definida por
\alpha\cdot(x,y,z)=(\alpha x,\;\alpha y,\;z).
Verificar se (V,+,\cdot) é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.
2) Se o conjunto das matrizes simétricas 2\times2 é um subespaço vetorial de M_{2\times2}(\mathbb{R}).
Conteúdos necessários: axiomas de espaço vetorial (especialmente a distributividade da multiplicação escalar) e critério de subespaço (não vazio, fechado em soma e em multiplicação escalar).

Passo 2

Recordando os axiomas de espaço vetorial, um ponto crítico é a distributividade da multiplicação escalar sobre soma de escalares:
(\alpha+\beta)\cdot v \;=\;\alpha\cdot v\;+\;\beta\cdot v, \quad\forall\,\alpha,\beta\in\mathbb{R},\;v\in V.

Passo 3

Vamos testar esse axioma em V. Tome v=(x,y,z).
O lado esquerdo é
(\alpha+\beta)\cdot(x,y,z) =\bigl((\alpha+\beta)x,\;(\alpha+\beta)y,\;z\bigr).
O lado direito é
\alpha\cdot(x,y,z)+\beta\cdot(x,y,z) =(\alpha x,\alpha y,z)+(\beta x,\beta y,z) =\bigl((\alpha+\beta)x,\;(\alpha+\beta)y,\;2z\bigr).
Como \;z\neq2z em geral, concluímos que
(\alpha+\beta)\cdot v \neq \alpha\cdot v+\beta\cdot v,
logo falha a distributividade.

Passo 4

Falhando um dos axiomas de espaço vetorial, \bigl(\mathbb{R}^3,+,\cdot\bigr) com essa multiplicação escalar não é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Passo 5

Para o segundo item, um subconjunto U\subset V é subespaço vetorial se e somente se:
1. U\neq\emptyset (ou seja, contém o vetor zero).
2. U é fechado em soma: u_1,u_2\in U\implies u_1+u_2\in U.
3. U é fechado em multiplicação escalar: u\in U,\;\alpha\in\mathbb{R}\implies \alpha u\in U.

Passo 6

Considere
U=\bigl\{\,A\in M_{2\times2}(\mathbb{R}) \mid A^T=A\bigr\}
o conjunto das matrizes simétricas 2\times2.
1. A matriz zero \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix} é simétrica, então U\neq\emptyset.
2. Se
\displaystyle A=\begin{pmatrix}a_1&b_1\b_1&c_1\end{pmatrix}
e
\displaystyle B=\begin{pmatrix}a_2&b_2\b_2&c_2\end{pmatrix},
então
A+B =\begin{pmatrix}a_1+a_2 & b_1+b_2\\[6pt]b_1+b_2 & c_1+c_2\end{pmatrix},
que é simétrica.
3. Para \alpha\in\mathbb{R},
\alpha A =\begin{pmatrix}\alpha a_1 & \alpha b_1\\[3pt]\alpha b_1 & \alpha c_1\end{pmatrix}
também é simétrica.]

Passo 7

Como U contém o zero, é fechado em soma e em multiplicação escalar, concluímos que é um subespaço de M_{2\times2}(\mathbb{R}).

Resposta

1) Não, \bigl(\mathbb{R}^3,+,\cdot\bigr) com \alpha\cdot(x,y,z)=(\alpha x,\alpha y,z) não satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial.
2) Sim, o conjunto das matrizes simétricas 2\times2 é um subespaço vetorial de M_{2\times2}(\mathbb{R}).

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