Considere os pontos A=(1,3), B=(2,0) e C=(-2,1), no sistema de coordenadas O x y, e os vetores u=A B, v=B C, w=C A.
a) Determine u, v, w.
b) Determine |u|,|v|,|w|.
c) Determine: u+v ; u-v ; u+v+w ; 2 u+3 v-5 w.

Passo 1

Temos os pontos , e no plano e os vetores
, e .
Para resolver vamos usar subtração de coordenadas para obter cada vetor, depois a fórmula da norma em e, por fim, somas e combinações lineares de vetores.

Passo 2

Calculando as componentes por diferença de coordenadas:
u=AB=(xB-xA,;yB-yA)=(2-1,;0-3)=(1,-3),
v=BC=(xC-xB,;yC-yB)=(-2-2,;1-0)=(-4,1),
w=CA=(xA-xC,;yA-yC)=(1-(-2),;3-1)=(3,2)

Passo 3

As normas são dadas por |(x,y)|=raizx^2+y^2, então
|u|=raiz1^2+(-3)^2=raiz10, |v|=raiz(-4)^2+1^2=raiz17, |w|=raiz3^2+2^2=raiz13

Passo 4

Fazendo as operações solicitadas:
u+v=(1+(-4),,-3+1)=(-3,-2),
u-v=(1-(-4),,-3-1)=(5,-4),
u+v+w=(-3,-2)+(3,2)=(0,0),
2u+3v-5w =2(1,-3)+3(-4,1)-5(3,2) =(2,-6)+(-12,3)+(-15,-10) =(-25,-13)

Resposta

a) u=(1,-3), v=(-4,1), w=(3,2).
b) |u|=raiz10, |v|=raiz17, |w|=raiz13.
c) u+v=(-3,-2); u-v=(5,-4); u+v+w=(0,0); 2u+3v-5w=(-25,-13).

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