Considere os pontos A(2,4) e B(5,-3). Determine a equação do lugar geométrico dos pontos P sabendo-se que o coeficiente angular da reta por A e P é uma unidade maior que o coeficiente angular da reta por B e P.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois pontos, A(2,4) e B(5,-3), e precisa descobrir a equação do lugar geométrico dos pontos P onde a reta que passa por A e P tem um coeficiente angular (ou inclinação) que é uma unidade maior que o coeficiente angular da reta que passa por B e P. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre coeficiente angular de retas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar o coeficiente angular entre dois pontos. O coeficiente angular m entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é dado por:
m = y2 - y1x2 - x1

Passo 3

Vamos chamar as coordenadas do ponto P de (x, y). Então, o coeficiente angular da reta AP será:
mAP = y - 4x - 2
E o coeficiente angular da reta BP será:
mBP = y + 3x - 5

Passo 4

De acordo com o enunciado, temos que o coeficiente angular de AP é uma unidade maior que o de BP. Isso dá a seguinte equação:
mAP = mBP + 1
Substituindo os valores que encontramos:
y - 4x - 2 = y + 3x - 5 + 1

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a relação entre x e y, que será a equação do lugar geométrico procurado.
Primeiro, vamos simplificar a equação:
y - 4x - 2 - y + 3x - 5 = 1

Passo 6

Para simplificar, vamos encontrar um denominador comum, que é (x - 2)(x - 5):
(y - 4)(x - 5) - (y + 3)(x - 2)(x - 2)(x - 5) = 1

Passo 7

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador para eliminar as frações:
(y - 4)(x - 5) - (y + 3)(x - 2) = (x - 2)(x - 5)

Passo 8

Vamos expandir os termos:
y(x - 5) - 4(x - 5) - y(x - 2) - 3(x - 2) = x^2 - 7x + 10
Distribuindo:
yx - 5y - 4x + 20 - yx + 2y - 3x + 6 = x^2 - 7x + 10

Passo 9

Agora, vamos simplificar os termos semelhantes:
(-5y + 2y) + (-4x - 3x) + (20 + 6) = x^2 - 7x + 10
Isso dá:
-3y - 7x + 26 = x^2 - 7x + 10

Passo 10

Vamos trazer todos os termos para um lado da equação:
-3y - 7x + 26 - x^2 + 7x - 10 = 0
Simplificando:
-3y - x^2 + 16 = 0

Passo 11

Agora, isolamos y:
-3y = x^2 - 16
Dividindo ambos os lados por -3:
y = -13x^2 + 163

Resposta

A equação do lugar geométrico dos pontos P é:
y = -13x^2 + 163

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