Considere os pontos
e
. Determine a equação do lugar geométrico dos pontos
sabendo-se que o coeficiente angular da reta por
e
é uma unidade maior que o coeficiente angular da reta por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois pontos,
e
, e precisa descobrir a equação do lugar geométrico dos pontos
onde a reta que passa por
e
tem um coeficiente angular (ou inclinação) que é uma unidade maior que o coeficiente angular da reta que passa por
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre coeficiente angular de retas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como encontrar o coeficiente angular entre dois pontos. O coeficiente angular
entre dois pontos
e
é dado por:
Passo 3
Vamos chamar as coordenadas do ponto
de
. Então, o coeficiente angular da reta
será:
E o coeficiente angular da reta
será:
Passo 4
De acordo com o enunciado, temos que o coeficiente angular de
é uma unidade maior que o de
. Isso dá a seguinte equação:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a relação entre
e
, que será a equação do lugar geométrico procurado.
Primeiro, vamos simplificar a equação:
Passo 6
Para simplificar, vamos encontrar um denominador comum, que é
:
Passo 7
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador para eliminar as frações:
Passo 8
Vamos expandir os termos:
Distribuindo:
Passo 9
Agora, vamos simplificar os termos semelhantes:
Isso dá:
Passo 10
Vamos trazer todos os termos para um lado da equação:
Simplificando:
Passo 11
Agora, isolamos
:
Dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A equação do lugar geométrico dos pontos
é: