Um segmento de reta com 12 unidades de comprimento se desloca de modo que seus extremos se encontram sempre apoiados sobre os eixos coordenados. Determine a equação do lugar geométrico descrito por seu ponto médio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um segmento de reta que tem 12 unidades de comprimento e está se movendo de maneira que suas pontas sempre fiquem apoiadas nos eixos coordenados (o eixo X e o eixo Y). Nosso objetivo é descobrir a equação do lugar geométrico do ponto médio desse segmento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como coordenadas, distância entre pontos e ponto médio.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar o segmento de reta se movendo no plano cartesiano. Vamos chamar as extremidades desse segmento de A e B . Como A está no eixo X e B está no eixo Y, podemos representar suas coordenadas da seguinte forma:
  • A = (x, 0)
  • B = (0, y)
Aqui, x é a coordenada de A no eixo X, e y é a coordenada de B no eixo Y.

Passo 3

Sabemos que o comprimento do segmento AB é sempre 12 unidades. Podemos usar a fórmula da distância entre dois pontos para expressar isso:
AB = raiz(x - 0)^2 + (0 - y)^2 = 12
Simplificando:
raizx^2 + y^2 = 12

Passo 4

Vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
x^2 + y^2 = 144
Essa equação relaciona x e y para qualquer posição do segmento AB com comprimento 12.

Passo 5

Agora, queremos encontrar as coordenadas do ponto médio M do segmento AB . A fórmula para o ponto médio entre dois pontos A(x1, y1) e B(x2, y2) é:
M = ( x1 + x22, y1 + y22 )
Aplicando para nossos pontos A(x, 0) e B(0, y) :
M = ( x + 02, 0 + y2 ) = ( x2, y2 )
Vamos chamar as coordenadas de M de (h, k) , então temos:
h = x2 e k = y2

Passo 6

Queremos uma equação que relacione h e k . Sabemos que:
x = 2h e y = 2k
Substituindo na equação x^2 + y^2 = 144 :
(2h)^2 + (2k)^2 = 144 4h^2 + 4k^2 = 144
Dividindo ambos os lados por 4:
h^2 + k^2 = 36

Resposta

A equação do lugar geométrico do ponto médio é:
h^2 + k^2 = 36

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