Um segmento de reta com 12 unidades de comprimento se desloca de modo que seus extremos se encontram sempre apoiados sobre os eixos coordenados. Determine a equação do lugar geométrico descrito por seu ponto médio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um segmento de reta que tem 12 unidades de comprimento e está se movendo de maneira que suas pontas sempre fiquem apoiadas nos eixos coordenados (o eixo X e o eixo Y). Nosso objetivo é descobrir a equação do lugar geométrico do ponto médio desse segmento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como coordenadas, distância entre pontos e ponto médio.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar o segmento de reta se movendo no plano cartesiano. Vamos chamar as extremidades desse segmento de
e
. Como
está no eixo X e
está no eixo Y, podemos representar suas coordenadas da seguinte forma:
Aqui,
é a coordenada de
no eixo X, e
é a coordenada de
no eixo Y.
Passo 3
Sabemos que o comprimento do segmento
é sempre 12 unidades. Podemos usar a fórmula da distância entre dois pontos para expressar isso:
Simplificando:
Passo 4
Vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
Essa equação relaciona
e
para qualquer posição do segmento
com comprimento 12.
Passo 5
Agora, queremos encontrar as coordenadas do ponto médio
do segmento
. A fórmula para o ponto médio entre dois pontos
e
é:
Aplicando para nossos pontos
e
:
Vamos chamar as coordenadas de
de
, então temos:
Passo 6
Queremos uma equação que relacione
e
. Sabemos que:
Substituindo na equação
:
Dividindo ambos os lados por 4:
Resposta
A equação do lugar geométrico do ponto médio é: