Qual é o número máximo de matrizes linearmente independentes que podem se achar em
?.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pergunta qual é o número máximo de matrizes linearmente independentes que podemos encontrar no conjunto de matrizes
, que chamamos de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e independência linear. Vamos precisar entender o que significa a dimensão de um espaço vetorial e como ela se relaciona com o número máximo de vetores (ou matrizes, no nosso caso) que podem ser independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
representa todas as matrizes com 3 linhas e 2 colunas. Cada matriz
tem 6 elementos. Podemos pensar nessas matrizes como vetores em um espaço vetorial de dimensão 6, porque cada elemento da matriz é uma coordenada nesse espaço.
Passo 3
A dimensão de um espaço vetorial é igual ao número máximo de vetores (ou matrizes) que podem ser linearmente independentes nesse espaço. Ou seja, em
, que tem dimensão 6, podemos ter no máximo 6 matrizes que são todas linearmente independentes entre si.
Passo 4
Para entender melhor, imagine que cada matriz
pode ser representada como um vetor de 6 entradas. A independência linear significa que nenhuma dessas matrizes pode ser escrita como uma combinação das outras. Então, se conseguirmos 6 matrizes que não dependem umas das outras, essas 6 matrizes serão nosso conjunto máximo de matrizes linearmente independentes.
Passo 5
Portanto, como a dimensão de
é 6, o número máximo de matrizes linearmente independentes que podemos ter nesse conjunto é exatamente 6.
Resposta
O número máximo de matrizes linearmente independentes em
é 6.