Dois polinômios podem gerar P2 ?. Justifique.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. A questão pergunta se dois polinômios conseguem gerar o espaço P2 . Aqui, P2 representa o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre dimensões de espaços vetoriais e geração de espaços.

Passo 2

Vamos começar definindo o que é P2 . O espaço P2 consiste em todos os polinômios que podem ser escritos na forma:
a0 + a1x + a2x^2
onde a0, a1, a2 são números reais. Esse espaço tem dimensão 3 porque precisamos de três polinômios base para descrevê-lo completamente, como 1 , x e x^2 .

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa gerar um espaço vetorial. Dizer que um conjunto de polinômios gera P2 significa que qualquer polinômio em P2 pode ser escrito como uma combinação linear desses polinômios. Ou seja, se temos dois polinômios p1(x) e p2(x) , queremos ver se conseguimos obter qualquer a0 + a1x + a2x^2 combinando p1(x) e p2(x) .

Passo 4

Para gerar um espaço de dimensão 3, geralmente precisamos de pelo menos três vetores (ou polinômios) que sejam linearmente independentes. Com apenas dois polinômios, o máximo que podemos alcançar é um espaço de dimensão 2. Isso significa que dois polinômios não conseguem cobrir todas as possíveis combinações necessárias para formar qualquer polinômio em P2 .

Passo 5

Vamos pensar em um exemplo. Suponha que temos dois polinômios:
p1(x) = 1 e p2(x) = x
Com esses dois, conseguimos gerar qualquer polinômio da forma a0 + a1x , mas não conseguimos incluir termos com x^2 . Portanto, faltaria um terceiro polinômio, como x^2 , para gerar todo o espaço P2 .

Passo 6

Além disso, mesmo que escolhamos dois polinômios diferentes, se eles não forem suficientes para combinar e criar o termo x^2 , ainda não conseguiremos gerar P2 . A necessidade de três polinômios independentes é fundamental para cobrir todas as dimensões do espaço.

Resposta

Não, dois polinômios não conseguem gerar P2 , pois P2 é um espaço vetorial de dimensão 3 e são necessários pelo menos três polinômios linearmente independentes para gerar todo o espaço.

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