Determine a equação do lugar geométrico dos pontos equidistantes do ponto
e da reta
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do lugar geométrico dos pontos que estão à mesma distância do ponto
e da reta
. Esse tipo de problema está na área de Geometria Analítica, e vamos usar conceitos de distância entre pontos e retas para chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos e a distância de um ponto a uma reta.
A distância entre dois pontos
e
é dada pela fórmula:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a distância do ponto
até a reta
. A distância de um ponto
até uma reta
é simplesmente a diferença absoluta entre as coordenadas
do ponto e o valor
da reta.
Então, a distância é:
Passo 4
Como queremos que essas duas distâncias sejam iguais, vamos igualar as duas expressões:
Passo 5
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz e o valor absoluto:
Passo 6
Agora, vamos expandir os quadrados:
Passo 7
Simplificando os termos, podemos cancelar o
de ambos os lados:
Passo 8
Vamos isolar os termos com
:
Passo 9
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Passo 10
Agora, vamos isolar
:
Simplificando:
Resposta
A equação do lugar geométrico é
.