Determine a equação do lugar geométrico dos pontos equidistantes do ponto A(3,5) e da reta y=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do lugar geométrico dos pontos que estão à mesma distância do ponto A(3,5) e da reta y = 1 . Esse tipo de problema está na área de Geometria Analítica, e vamos usar conceitos de distância entre pontos e retas para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos e a distância de um ponto a uma reta.
A distância entre dois pontos P(x, y) e A(3,5) é dada pela fórmula:
d(P, A) = raiz(x - 3)^2 + (y - 5)^2

Passo 3

Agora, precisamos calcular a distância do ponto P(x, y) até a reta y = 1 . A distância de um ponto (x, y) até uma reta y = c é simplesmente a diferença absoluta entre as coordenadas y do ponto e o valor c da reta.
Então, a distância é:
d(P, reta) = |y - 1|

Passo 4

Como queremos que essas duas distâncias sejam iguais, vamos igualar as duas expressões:
raiz(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = |y - 1|

Passo 5

Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz e o valor absoluto:
(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = (y - 1)^2

Passo 6

Agora, vamos expandir os quadrados:
(x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 10y + 25) = y^2 - 2y + 1

Passo 7

Simplificando os termos, podemos cancelar o y^2 de ambos os lados:
x^2 - 6x + 9 + y^2 - 10y + 25 = y^2 - 2y + 1 x^2 - 6x + 34 - 10y = -2y + 1

Passo 8

Vamos isolar os termos com y :
x^2 - 6x + 34 - 10y + 2y = 1 x^2 - 6x + 34 - 8y = 1

Passo 9

Subtraindo 1 de ambos os lados:
x^2 - 6x + 33 - 8y = 0

Passo 10

Agora, vamos isolar y :
-8y = -x^2 + 6x - 33 y = 18x^2 - 68x + 338
Simplificando:
y = 18x^2 - 34x + 338

Resposta

A equação do lugar geométrico é y = 18x^2 - 34x + 338 .

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