Determine o ângulo formado pelos seguintes planos
x-4 y-3 z-2=0 e 3 x-12 y-9 z-7=0

Passo 1

O enunciado dá dois planos
P1: x - 4y - 3z - 2 = 0
P2: 3x - 12y - 9z - 7 = 0
e pede o ânguloâ entre eles. O conteúdo aqui é “ ânguloâ entre planos” em geometria analítica, que se reduz ao ânguloâ entre os vetores normais de cada plano.

Passo 2

Para um plano da forma ax + by + cz + d = 0, o vetor normal é
n = (a,b,c)
Logo, do primeiro plano temos
n1 = (1,,-4,,-3),
e do segundo
n2 = (3,,-12,,-9)

Passo 3

O ângulo phi entre dois vetores n1 e n2 é dado por
phi = arccos!l(lvert lang<= n1,n2rang<=rvert|n1|;|n2|;r)
Esse mesmo phi é o ângulo entre os planos P1 e P2.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar e as normas:
lang<= n1,n2rang<= = 1cdot3 + (-4)cdot(-12) + (-3)cdot(-9) = 3 + 48 + 27 = 78,
|n1| = raiz1^2 + (-4)^2 + (-3)^2 = raiz26,
|n2| = raiz3^2 + (-12)^2 + (-9)^2 = raiz9 + 144 + 81 = raiz234 = 3raiz26
Portanto
lvertlang<= n1,n2rang<=rvert|n1||n2| = 78raiz26,(3raiz26) = 7878 = 1

Passo 5

Como o quociente é 1, temos
phi = arccos(1) = 0
Isso significa que os vetores normais são colineares e, portanto, os planos são paralelos. O ângulo entre eles é 0^circ.

Resposta

O ângulo entre os planos é 0^circ.

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