Considere os pontos A(1,2) e B(3,4). Determine o ponto C do primeiro quadrante, sobre a reta y=3 x+2, de modo que o triângulo A B C tenha área 5.

Passo 1

O enunciado dá os pontos A(1,2) e B(3,4) e pede um ponto C no primeiro quadrante sobre a reta y=3x+2 tal que a área do triângulo ABC seja 5. Vamos usar a fórmula da área de um triângulo no plano em termos de determinante:
Área=12l|det(AB,AC)r|, Á

Passo 2

Parametrizamos C por x na reta y=3x+2, logo
C=(x,;3x+2),
Os vetores AB e AC são
AB=(3-1,;4-2)=(2,2), AC=(x-1,;3x+2-2)=(x-1,3x)

Passo 3

Calculamos o determinante e impomos tfrac12|det|=5:
det(AB,AC) =2 & 2 x-1 & 3x =2cdot3x-2cdot(x-1)=6x-2x+2=4x+2
Portanto,
12,|4x+2|=5 ;Longrightarrow; |4x+2|=10 ;Longrightarrow; 4x+2=pm10

Passo 4

Resolvendo 4x+2=10 x=2 e 4x+2=-10 x=-3. O ponto correspondente a x=-3 fica fora do primeiro quadrante, então escolhemos
x=2 Longrightarrow C=l(2,;3cdot2+2r)=(2,8)

Resposta

C=(2,8)

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