1.1 Considere os pontos D=(0,0, raiz2), A, B, C, D e . Mostre que são vértices de um tetraedro regular.

Passo 1

Vamos mostrar que os quatro pontos formam um tetraedro regular verificando que todas as distâncias entre pares de vértices são iguais. O conteúdo é geometria analítica em ℝ³ e o que precisamos é calcular as normas dos vetores que ligam cada par de pontos.

Passo 2

Primeiro, calculemos as distâncias entre A, B e C, que estão no plano z=0. Vetores:
AB=B-A=l(-tfracraiz32,-tfrac12,0r)-(0,1,0)=l(-tfracraiz32,-tfrac32,0r),
AC=C-A=l(tfracraiz32,-tfrac12,0r)-(0,1,0)=l(tfracraiz32,-tfrac32,0r),
BC=C-B=l(tfracraiz32,-tfrac12,0r)-l(-tfracraiz32,-tfrac12,0r)=l(raiz3,0,0r)
Normas:
|AB|=|AC|=raizl(tfracraiz32r)^2+l(tfrac32r)^2=raiztfrac34+tfrac94=raiz3,
|BC|=raiz(raiz3)^2+0+0=raiz3
Ou seja, ABC é um triângulo equilátero de lado raiz3.

Passo 3

Agora calculemos as distâncias de D aos vértices A, B e C. Vetores:
AD=D-A=(0,0,raiz2)-(0,1,0)=(0,-1,raiz2),
BD=D-B=(0,0,raiz2)-l(-tfracraiz32,-tfrac12,0r)=l(tfracraiz32,tfrac12,raiz2r),
CD=D-C=(0,0,raiz2)-l(tfracraiz32,-tfrac12,0r)=l(-tfracraiz32,tfrac12,raiz2r)
Normas:
|AD|=raiz0^2+(-1)^2+(raiz2)^2=raiz1+2=raiz3,
|BD|=|CD|=raizl(tfracraiz32r)^2+l(tfrac12r)^2+(raiz2)^2=raiztfrac34+tfrac14+2=raiz3

Passo 4

Como as seis distâncias AB,AC,BC,AD,BD,CD são iguais a raiz3, concluímos que os pontos A, B, C e D formam um tetraedro regular.

Resposta

Os pontos são vértices de um tetraedro regular com arestas de comprimento raiz3.

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