1.2 Encontre o ortocentro do triângulo A C D onde A=(0,1,0), D=(0,0, raiz2) e .

Passo 1

Estamos com o triângulo ACD no espaço gerado pelos pontos A=(0,1,0), C=(tfracraiz32,-tfrac12,0) e D=(0,0,raiz2). Queremos encontrar o ortocentro, que é a interseção das três altitudes. O conteúdo é geometria analítica no espaço e vamos usar vetores, produto vetorial para achar normais e direções de altitudes e produto escalar para condições de perpendicularidade.

Passo 2

Primeiro calculemos os vetores dos lados do triângulo:
AC=C-A=l(tfracraiz32,-tfrac32,0r)
AD=D-A=(0,-1,raiz2)
CD=D-C=l(-tfracraiz32,tfrac12,raiz2r)

Passo 3

Agora achamos o vetor normal ao plano do triângulo por n=ACtimesAD. Calculando,
n=l(-tfrac3raiz22,-tfracraiz62,-tfracraiz32r)

Passo 4

Como a altitude em um vértice é perpendicular ao lado oposto e fica no plano, suas direções podem ser obtidas por cruzamento do normal com esse lado. Assim,
vA=ntimesCD=l(-tfrac3raiz34,tfrac154,-tfrac3raiz22r),
vC=ntimesAD=l(-tfrac3raiz32,3,tfrac3raiz22r)

Passo 5

Escrevemos as retas das altitudes em forma paramétrica:
RetaA:; x=-tfrac3raiz34s, y=1+tfrac154s, z=-tfrac3raiz22s,
RetaC:; x=tfracraiz32-tfrac3raiz32t, y=-tfrac12+3t, z=tfrac3raiz22t

Passo 6

Para encontrar a interseção igualamos coordenadas. Da componente z vem
-tfrac3raiz22s=tfrac3raiz22timplies t=-s
Substituindo em x obtemos
-tfrac3raiz34s=tfracraiz32+tfrac3raiz32s
que leva a s=-tfrac29 e t=tfrac29.

Passo 7

Por fim, calculamos H=A+s,vA com s=-tfrac29, resultando em
H=l(tfracraiz36,tfrac16,tfracraiz23r)

Resposta

O ortocentro do triângulo ACD é o ponto H=l(tfracraiz36,tfrac16,tfracraiz23r).

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