Descreva o conjunto dos pontos nos quais a função f seja contínua:

Passo 1

O enunciado pede para determinar o conjunto de pontos (x,y)inR^2 onde f(x,y)=lnl(xyr) é contínua. O conteúdo envolve continuidade de funções de várias variáveis e propriedades de composições de funções contínuas, além do domínio do logaritmo natural.

Passo 2

Sabemos que a função logaritmo natural ln(u) é contínua em seu domínio, que é u>0. Como f é composta por ln e a função razão (x,y)mapstoxy, precisamos garantir que o argumento xy satisfaça xy>0 e também que o denominador y seja diferente de zero.

Passo 3

A condição xy>0 junto com yneq0 implica que x e y têm o mesmo sinal. Logo, o domínio de continuidade é a união das duas regiões:
(x,y):x>0,y>0cup(x,y):x<0,y<0

Passo 4

Concluímos que, por ser composta de funções contínuas em seu domínio, f é contínua em todos os pontos que satisfazem essas condições.

Resposta

O conjunto de continuidade de f é (x,y)inR^2:yneq0 e x/y>0, ou equivalentemente (x,y):x>0,y>0cup(x,y):x<0,y<0.

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