Considere os pontos dados por A(-1,2,-1), B(-2,1,1) e C(1,-1,2). Determine:
e) a equação geral do plano que passa pelos pontos A, B e C .

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano em R^3 que passa pelos pontos
A(-1,2,-1), B(-2,1,1) e C(1,-1,2).
O conteúdo necessário é a representação vetorial de um plano e o produto vetorial para encontrar um vetor normal.

Passo 2

Primeiro obtemos dois vetores pertencentes ao plano, por exemplo
AB = B - A = (-2 - (-1),,1-2,,1 - (-1)) = (-1,,-1,,2),
AC = C - A = (1 - (-1),,-1-2,,2 - (-1)) = (2,,-3,,3)

Passo 3

O vetor normal n ao plano é dado pelo produto vetorial
n = AB times AC = i & j & k -1 & -1 & 2 2 & -3 & 3 = (3,,7,,5)

Passo 4

A equação vetorial do plano com normal (a,b,c) passando por (x0,y0,z0) é
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Aqui (a,b,c)=(3,7,5) e escolhemos o ponto A(-1,2,-1). Logo
3(x+1) + 7(y-2) + 5(z+1) = 0

Passo 5

Basta expandir e arrumar na forma geral:
3x + 3 + 7y - 14 + 5z + 5 = 0 Longrightarrow 3x + 7y + 5z -6 = 0

Resposta

A equação geral do plano é
3x + 7y + 5z - 6 = 0

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