Sendo V=R^3 e dado um conjunto de elementos beta=(2,-1,1) ;(3,0,2) ;(-4,2,-2) de V.
a) Verifique se o conjunto é L.I. ou L.D.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=R^3 e o conjunto de vetores
beta=(2,-1,1),,(3,0,2),,(-4,2,-2). Queremos decidir se esses vetores são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.). Para isso, vamos montar a combinação linear nula e verificar se há solução não trivial.

Passo 2

Formamos a equação
alpha,(2,-1,1)+beta,(3,0,2)+gamma,(-4,2,-2)=(0,0,0)
e obtemos o sistema de equações:
2alpha +3beta -4gamma = 0,
-alpha ;+;2gamma = 0,
alpha +2beta -2gamma = 0

Passo 3

Da segunda equação -alpha+2gamma=0 vem
alpha = 2gamma
Substituindo na primeira:
2(2gamma)+3beta-4gamma=0 Longrightarrow 3beta=0 Longrightarrow beta=0
Na terceira:
alpha+2beta-2gamma=2gamma+0-2gamma=0,
que não traz nova condição. Logo gamma é parâmetro livre.

Passo 4

Como existe solução com gammaneq0 (por exemplo gamma=1 e então alpha=2, beta=0), os vetores não são somente a solução trivial. Em particular,
2,(2,-1,1)+1,(-4,2,-2)=(0,0,0),
ou seja, o terceiro vetor é -2 vezes o primeiro.

Resposta

O conjunto beta é linearmente dependente.

Exercícios relacionados