Considere os pontos A=(1,-1,4), B=(2,0,-2), C=(1,1,1) e D=(3,1,2).
Determine a equação geral do plano pi que passa pelos pontos A, B e D.

Passo 1

O enunciado dá os pontos
A=(1,-1,4), B=(2,0,-2), D=(3,1,2)
e pede a equação geral do plano pi que passa por A, B e D.
Para isso, vamos usar o fato de que um plano pode ser determinado por um ponto nele e um vetor normal. Nosso objetivo é:
  1. Encontrar dois vetores diretores do plano, por exemplo AB e AD.
  2. Calcular o vetor normal n = AB times AD.
  3. Escrever a equação ncdot(,(x,y,z)-A)=0 e simplificar.

Passo 2

Calculamos os vetores
AB = B - A = (2-1,;0-(-1),;-2-4) = (1,1,-6),
AD = D - A = (3-1,;1-(-1),;2-4) = (2,2,-2)

Passo 3

O vetor normal n é dado pelo produto vetorial
n = ABtimesAD = (1,1,-6)times(2,2,-2)
Em coordenadas:
nx = 1cdot(-2) - (-6)cdot2 = -2 + 12 = 10,
ny = -l(1cdot(-2) - (-6)cdot2r) = -(-2 + 12) = -10,
nz = 1cdot2 - 1cdot2 = 0
Portanto n = (10,-10,0), que pode ser simplificado para
n = (1,-1,0)

Passo 4

A equação do plano com normal n=(1,-1,0) passando por A=(1,-1,4) é
1,(x-1) ;+;(-1),(y+1);+;0,(z-4) ;=;0
Expandindo e simplificando:
x - 1 - y - 1 = 0 Longrightarrow x - y - 2 = 0

Resposta

A equação geral do plano pi é
x - y - 2 = 0

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