Considere os pontos A=(1,-1,4), B=(2,0,-2), C=(1,1,1) e D=(3,1,2).
Determine uma equação vetorial para a reta s perpendicular a r, onde r: X =(1,0,-2)+lambda(1,1,-1) e que contém P=(3,1,7).

Passo 1

O enunciado dá a reta
r:;X=(1,0,-2)+lambda,(1,1,-1)
cujo ponto base é A=(1,0,-2) e o vetor diretor é v=(1,1,-1), e pede a reta s que passe por P=(3,1,7) e seja perpendicular a r. Para que s seja perpendicular a r e passe por P, ela deve conter o pé Q da reta baixada de P sobre r.

Passo 2

Parametrizamos o ponto Q na reta r por
Q = A + t,v = (1+t,;0+t,;-2 - t)
Como PQ deve ser perpendicular a v, impomos
l(P - Qr)cdot v = 0
Ou seja,
l((3,1,7)-(1+t,;t,;-2-t)r)cdot(1,1,-1)=0

Passo 3

Calculando a diferença e o produto escalar:
P-Q = (3-1-t,;1-t,;7+2+t) = (2 - t,;1 - t,;9 + t).
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(2 - t) + (1 - t) + (-1),(9 + t) = 0 Longrightarrow 2 - t + 1 - t -9 - t = 0 Longrightarrow -3t -6 = 0 Longrightarrow t = -2

Passo 4

Substituindo t=-2 em Q=A+t,v obtemos
Q = (1-2,;0-2,;-2+2) = (-1,-2,0)
O vetor diretor de s é
PQ = Q - P = (-1-3,;-2-1,;0-7) = (-4,-3,-7),
que de fato satisfaz ( -4,-3,-7)cdot(1,1,-1)=0.

Passo 5

Portanto, uma equação vetorial para a reta s é
s: X = (3,1,7) + mu,(-4,-3,-7)

Resposta

boxed,s:;X = (3,1,7) + mu,(-4,-3,-7),

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