Determine a posição relativa entre os planos pi1 : 2 x-y+z-1=0 e pi2: X=(-1,1,2)+lambda(0,1,1)+mu(1,2,0).

Passo 1

O enunciado pede para determinar a posição relativa entre os planos pi1colon 2x - y + z - 1 = 0 e pi2 dado pela forma paramétrica
X = (-1,1,2) + lambda,(0,1,1) + mu,(1,2,0)
O que precisamos fazer é (1) obter os vetores normais a cada plano, (2) verificar se são paralelos ou não, e (3) checar se há coincidência ou apenas paralelismo.

Passo 2

Para pi1, lemos diretamente o vetor normal:
n1 = (2,,-1,,1)
Para pi2, os vetores diretores são
v = (0,1,1), w = (1,2,0),
então um normal a pi2 é o produto vetorial
n2 = v times w = det i & j & k 0 & 1 & 1 1 & 2 & 0 = (-2,;1,;-1)

Passo 3

Repare que
(-2,,1,,-1) = -1 cdot (2,,-1,,1),
ou seja, n2 é múltiplo escalar de n1. Isso implica que pi1 e pi2 são paralelos (ou coincidentes).

Passo 4

Para decidir entre coincidentes ou apenas paralelos, testamos se o ponto (-1,1,2) de pi2 satisfaz pi1:
2(-1) - 1 + 2 - 1 = -2 - 1 + 2 - 1 = -2 neq 0
Como o ponto não satisfaz a equação de pi1, os planos não coincidem.

Resposta

Os planos são paralelos e distintos.

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