Determine a interseção entre a reta t: X=(5,2,-2)+lambda(-1,1,1) e o plano pi : lx=1+lambda+mu y=2-lambda+mu z=3-mu

Passo 1

O enunciado pede a interseção entre a reta t e o plano pi, ambos dados em forma paramétrica. O conteúdo aqui é resolver um sistema de equações paramétricas igualando coordenadas para encontrar o ponto comum.

Passo 2

Escrevemos a reta t com parâmetro lambda1:
x=5-lambda1, y=2+lambda1, z=-2+lambda1
E o plano pi com parâmetros lambda2 e mu:
x=1+lambda2+mu, y=2-lambda2+mu, z=3-mu

Passo 3

Igualamos coordenadas de t e pi, obtendo o sistema
5-lambda1 = 1+lambda2+mu, 2+lambda1 = 2-lambda2+mu, -2+lambda1 = 3-mu

Passo 4

Colocamos o sistema em forma padrão:
-lambda1 -lambda2 -mu = -4, lambda1 +lambda2 -mu = 0, lambda1 +mu = 5
Da terceira equação vem mu=5-lambda1. Substituindo na segunda:
lambda1 +lambda2 - (5-lambda1)=0 Longrightarrow 2lambda1+lambda2=5 Longrightarrow lambda2=5-2lambda1
Agora na primeira:
-lambda1 -(5-2lambda1) - (5-lambda1)=-4 Longrightarrow -2lambda1+10=-4 Longrightarrow lambda1=3

Passo 5

Com lambda1=3 obtemos lambda2=5-2cdot3=-1 e mu=5-3=2. Substituindo lambda1 na reta:
x=5-3=2, y=2+3=5, z=-2+3=1

Resposta

O ponto de interseção é (2,5,1).

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