Sejam e pi: 2 x+y-z-1=0. Determine a posição relativa e a distância entre r e pi.
Passo 1
O enunciado dá a reta r por
x=-3+lambda, y=1, z=2lambda
e o plano pi por
2x+y-z-1=0
O conteúdo é posição relativa de reta e plano no espaço e cálculo de distância entre eles. Para resolver vamos obter o vetor diretor da reta, o vetor normal do plano, verificar se são ortogonais (para saber se são paralelos) e em seguida usar a fórmula de distância ponto-plano.
Passo 2
O vetor diretor de r é
v=(1,0,2),
e o vetor normal de pi é
n=(2,1,-1)
Calculamos o produto interno para ver se vperpn:
vcdotn=1cdot2+0cdot1+2cdot(-1)=2-2=0
Como vcdotn=0, a reta é paralela ao plano.
Passo 3
Para saber se a reta está contida em pi ou é apenas paralela, tomamos um ponto da reta. Em lambda=0 temos P0=(-3,1,0). Substituindo em 2x+y-z-1:
2(-3)+1-0-1=-6neq0
Logo P0 não satisfaz a equação de pi, isto é, a reta não está no plano, mas apenas paralela a ele.
Passo 4
A distância entre a reta e o plano é dada pela distância de P0 a pi: