Sejam r:llx=-3+lambda y & =1 z & =2 lambda e pi: 2 x+y-z-1=0. Determine a posição relativa e a distância entre r e pi.

Passo 1

O enunciado dá a reta r por
x=-3+lambda, y=1, z=2lambda
e o plano pi por
2x+y-z-1=0
O conteúdo é posição relativa de reta e plano no espaço e cálculo de distância entre eles. Para resolver vamos obter o vetor diretor da reta, o vetor normal do plano, verificar se são ortogonais (para saber se são paralelos) e em seguida usar a fórmula de distância ponto-plano.

Passo 2

O vetor diretor de r é
v=(1,0,2),
e o vetor normal de pi é
n=(2,1,-1)
Calculamos o produto interno para ver se vperpn:
vcdotn=1cdot2+0cdot1+2cdot(-1)=2-2=0
Como vcdotn=0, a reta é paralela ao plano.

Passo 3

Para saber se a reta está contida em pi ou é apenas paralela, tomamos um ponto da reta. Em lambda=0 temos P0=(-3,1,0). Substituindo em 2x+y-z-1:
2(-3)+1-0-1=-6neq0
Logo P0 não satisfaz a equação de pi, isto é, a reta não está no plano, mas apenas paralela a ele.

Passo 4

A distância entre a reta e o plano é dada pela distância de P0 a pi:
d=l|2(-3)+1-0-1r|raiz2^2+1^2+(-1)^2 =6raiz6 =raiz6

Resposta

A reta r é paralela ao plano pi e não está contida nele.
A distância entre r e pi é raiz6.

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