Considere os pontos A=(1,2,-1), B=(0,3,1) e C=(-2,0,2).
Determine a interseção do plano com a reta: lx=1+lambda y=lambda z=-1+lambda

Passo 1

O enunciado pede a interseção entre o plano determinado pelos pontos
Vamos (a) achar a equação do plano e o ponto de interseção.

Passo 2

Calcular dois vetores do plano e o vetor normal n:
AB = B - A = (-1,1,2), AC = C - A = (-3,-2,3)
O vetor normal é
n = ABtimesAC = i & j & k -1 & 1 & 2 -3 & -2 & 3 = (7,,-3,,5)

Passo 3

Montar a equação do plano usando n=(7,-3,5) e o ponto A=(1,2,-1):
7(x-1) ;-;3(y-2);+;5(z+1) ;=;0
Desenvolvendo,
7x-7 ;-;3y+6;+;5z+5;=;0 Longrightarrow 7x-3y+5z+4=0

Passo 4

Substituir a parametrização da reta x=1+lambda, y=lambda, z=-1+lambda na equação do plano:
7(1+lambda)-3(lambda)+5(-1+lambda)+4=0
Isso dá
7+7lambda-3lambda-5+5lambda+4=0 Longrightarrow 9lambda+6=0 Longrightarrow lambda=-tfrac23

Passo 5

Obter as coordenadas do ponto de interseção substituindo lambda=-tfrac23 na reta:
x=1-tfrac23=tfrac13, y=-tfrac23, z=-1-tfrac23=-tfrac53

Resposta

O ponto de interseção é l(tfrac13,-tfrac23,-tfrac53r).

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