Considere os pontos A=(4,1,-1) e B=(2,0,-3)
Determine se o ponto (10,4,5) pertence à reta r.

Passo 1

O enunciado dá dois pontos A=(4,1,-1) e B=(2,0,-3) que definem a reta r. Para decidir se um ponto P=(10,4,5) pertence a r, vamos usar a parametrização da reta por um vetor diretor.

Passo 2

Primeiro encontramos o vetor diretor vec d de r subtraindo as coordenadas de A de B:
vec d = B - A = (2-4,;0-1,;-3-(-1)) = (-2,,-1,,-2)

Passo 3

A parametrização da reta r é
r(t) = A + t,vec d
ou seja
r(t) = (4,1,-1) + t,(-2,-1,-2)
Para ver se P=(10,4,5) está em r, resolvemos
(4,1,-1) + t,(-2,-1,-2) = (10,4,5)
Isso dá o sistema
4 - 2t = 10, 1 - t = 4, -1 - 2t = 5

Passo 4

Resolvendo as três equações:
Da primeira,
4 - 2t = 10 ;Longrightarrow; -2t = 6 ;Longrightarrow; t = -3
Da segunda,
1 - t = 4 ;Longrightarrow; -t = 3 ;Longrightarrow; t = -3
Da terceira,
-1 - 2t = 5 ;Longrightarrow; -2t = 6 ;Longrightarrow; t = -3
Como em todas obtemos o mesmo t=-3, concluímos que P está na reta.

Resposta

O ponto (10,4,5) pertence à reta r.

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