Encontre, se houver, o ponto de interseção das retas r: X=(1,2,3)Sigma+lambda(1,0,2)E, lambda in R, e s: X=
(1,1,5)Sigma+mu(1,1,0)E, mu in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas retas no espaço tridimensional, chamadas de r e s . A missão é descobrir se essas retas se cruzam em algum ponto. Para isso, precisamos usar a matéria de geometria analítica, mais especificamente, como encontrar o ponto de interseção de retas no espaço usando suas equações paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas das retas [r) e de forma mais clara.
  • Para a reta :
Aqui, (\lambda] é o parâmetro que varia nos números reais.
  • Para a reta [s):
Aqui, (\mu] também é um parâmetro real.

Passo 3

Para encontrar um ponto de interseção, precisamos que existam valores de lambda e mu que tornem as coordenadas x , y e z iguais para ambas as retas. Então, vamos igualar as equações correspondentes:
  1. Igualar as coordenadas x :
1 + lambda = 1 + mu implies lambda = mu
  1. Igualar as coordenadas y :
2 = 1 + mu implies mu = 1
  1. Igualar as coordenadas z :
3 + 2lambda = 5 implies 2lambda = 2 implies lambda = 1

Passo 4

Agora, vamos verificar se os valores encontrados para lambda e mu satisfazem todas as equações:
  • De x : lambda = mu = 1
  • De y : mu = 1
  • De z : lambda = 1
Como todas as equações são satisfeitas com lambda = 1 e mu = 1 , significa que as retas r e s se cruzam nesse ponto específico.

Resposta

As retas r e s se intersectam no ponto (2, 2, 5) .

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