Considere os pontos no espaço cartesiano: A=(7,-4,-3), B=(6,-8,-6), C=(7,-1,-7) e D=(7,-5,1). \checkmark \quad \mathrm{V} O volume do paralelepípedo determinado pelos vetores \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C} e \overrightarrow{A D} é V=8 unidades de volume. \checkmark \quad \mathrm{V} A altura do tetraedro formado formado pelos pontos ABCD é h=\frac{8}{\sqrt{650}}. \checkmark F A área do triângulo ABC é A_{t}=\frac{650}{2} unidades de área.
X V O pontos ABCD não formam um paralelepípedo pois são coplanares. \checkmark F A equação geral do plano \pi que passa por D , e é paralelo \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{C D} é: 26 x+(-8) y+(4) z=0.
Passo 1
O enunciado dá os pontos \displaystyle A=(7,-4,-3), \displaystyle B=(6,-8,-6), \displaystyle C=(7,-1,-7) e \displaystyle D=(7,-5,1)
e pede para determinar se cada afirmação sobre volume de paralelepípedo, altura de tetraedro, área de triângulo, coplanaridade e equação de plano é verdadeira (V) ou falsa (F). Vamos usar operações vetoriais em \mathbb{R}^3: diferença de pontos, produto vetorial, produto misto e fórmula de distância a um plano.
Passo 2
Calcular \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} e o volume do paralelepípedo via produto misto.
Como \frac{\sqrt{650}}{2}\neq\frac{650}{2}, a afirmação 3 é F.
Passo 5
Verificar se A,B,C,D são coplanares checando o produto misto já calculado: \overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD})=-8\neq0.
Isso significa que não são coplanares. Logo, a afirmação “são coplanares” (afirmação 4) é F.
Passo 6
Achar a equação do plano que passa por D e é paralelo a \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{CD}. A normal a esse plano é