Considere os pontos no espaço cartesiano: A=(7,-4,-3), B=(6,-8,-6), C=(7,-1,-7) e D=(7,-5,1).
\checkmark \quad \mathrm{V} O volume do paralelepípedo determinado pelos vetores \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C} e \overrightarrow{A D} é V=8 unidades de volume.
\checkmark \quad \mathrm{V} A altura do tetraedro formado formado pelos pontos ABCD é h=\frac{8}{\sqrt{650}}.
\checkmark F A área do triângulo ABC é A_{t}=\frac{650}{2} unidades de área.
X V O pontos ABCD não formam um paralelepípedo pois são coplanares.
\checkmark F A equação geral do plano \pi que passa por D , e é paralelo \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{C D} é: 26 x+(-8) y+(4) z=0.

Passo 1

O enunciado dá os pontos \displaystyle A=(7,-4,-3), \displaystyle B=(6,-8,-6), \displaystyle C=(7,-1,-7) e \displaystyle D=(7,-5,1)
e pede para determinar se cada afirmação sobre volume de paralelepípedo, altura de tetraedro, área de triângulo, coplanaridade e equação de plano é verdadeira (V) ou falsa (F). Vamos usar operações vetoriais em \mathbb{R}^3: diferença de pontos, produto vetorial, produto misto e fórmula de distância a um plano.

Passo 2

Calcular \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} e o volume do paralelepípedo via produto misto.
\overrightarrow{AB}=B-A=(-1,-4,-3),\quad \overrightarrow{AC}=C-A=(0,3,-4),\quad \overrightarrow{AD}=D-A=(0,-1,4).
Primeiro,
\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 0&3&-4\\\\ 0&-1&4 \end{vmatrix} =(8,0,0).
Depois, o produto misto
\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}) =(-1)\cdot8+(-4)\cdot0+(-3)\cdot0=-8.
O volume do paralelepípedo é o valor absoluto:
V=\bigl|\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD})\bigr|=8.
Logo, a afirmação 1 é V.

Passo 3

Calcular a altura do tetraedro ABCD como distância de D ao plano ABC. A normal ao plano ABC é
\mathbf{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(25,-4,-3),
com \|\mathbf{n}\|=\sqrt{625+16+9}=\sqrt{650}. A distância de D ao plano por A é
h=\frac{\bigl|(\overrightarrow{D A})\cdot \mathbf{n}\bigr|}{\|\mathbf{n}\|} =\frac{|(0,-1,4)\cdot(25,-4,-3)|}{\sqrt{650}} =\frac{|\,0+4-12\,|}{\sqrt{650}} =\frac{8}{\sqrt{650}}.
Portanto, a afirmação 2 é V.

Passo 4

Calcular a área do triângulo ABC:
\text{Área}_{ABC} =\frac12\bigl\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\bigr\| =\frac12\|\,(25,-4,-3)\|=\frac{\sqrt{650}}{2}.Á
Como \frac{\sqrt{650}}{2}\neq\frac{650}{2}, a afirmação 3 é F.

Passo 5

Verificar se A,B,C,D são coplanares checando o produto misto já calculado: \overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD})=-8\neq0.
Isso significa que não são coplanares. Logo, a afirmação “são coplanares” (afirmação 4) é F.

Passo 6

Achar a equação do plano que passa por D e é paralelo a \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{CD}. A normal a esse plano é
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CD} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ -1&-4&-3\\\\ 0&-4&8 \end{vmatrix} =(-44,8,4),
que simplifica, dividindo por 4, para (-11,2,1). Usando ponto D=(7,-5,1), a equação é
-11(x-7)+2(y+5)+1(z-1)=0 \;\Longrightarrow\; -11x+77+2y+10+z-1=0 \;\Longrightarrow\; 11x-2y-z=86.
Como a dada 26x-8y+4z=0 não é equivalente, a afirmação 5 é F.

Resposta

  1. V
  2. V
  3. F
  4. F
  5. F

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