1. Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} um operador linear cuja matriz da transformação nas bases canônicas é
[T]_{\beta^{\prime}}^{\beta}=\left(\begin{array}{ll} -3 & 4 \\\\ -1 & 2 \end{array}\right)
(a) Mostre que \lambda_{1}=1 e \lambda_{2}=-2 são autovalores de T.
(b) Mostre que os autovetores associados a \lambda_{1} e \lambda_{2} formam uma base \left\{v_{1}, v_{2}\right\} para T. Esta base é chamada de base de autovetores do espaço. Calcule a matriz da transformação nesta nova base. O que podemos dizer sobre esta matriz?

Passo 1

O enunciado dá o operador linear
T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2
cuja matriz na base canônica é
A = [T]_{\beta'}^{\beta} = \begin{pmatrix} -3 & 4\\\\ -1 & 2 \end{pmatrix}.
O conteúdo é cálculo de autovalores e autovetores, e diagonalização de T. Para resolver, vamos (1) achar o polinômio característico de A, (2) extrair os autovalores \lambda, (3) encontrar vetores não-nulos tais que (A-\lambda I)v=0, (4) mostrar que esses vetores são independentes, e (5) montar a matriz na base de autovetores.

Passo 2

O polinômio característico de A é
\det(A-\lambda I) = \det\begin{pmatrix} -3-\lambda & 4\\\\ -1 & 2-\lambda \end{pmatrix} = (-3-\lambda)(2-\lambda)-4\cdot(-1).
Desenvolvendo,
(-3-\lambda)(2-\lambda)+4 = (-6 +3\lambda -2\lambda +\lambda^2)+4 = \lambda^2+\lambda-2.
Igualando a zero,
\lambda^2+\lambda-2=0 \quad\Longrightarrow\quad (\lambda-1)(\lambda+2)=0,
de onde surgem
\lambda_1=1, \quad \lambda_2=-2.

Passo 3

Para cada autovalor \lambda resolvemos (A-\lambda I)v=0:
Para \lambda_1=1:
A-I = \begin{pmatrix} -4 & 4\\\\ -1 & 1 \end{pmatrix},
a equação -4x+4y=0 y=x. Um autovetor conveniente é
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.
Para \lambda_2=-2:
A+2I = \begin{pmatrix} -1 & 4\\\\ -1 & 4 \end{pmatrix},
a equação -x+4y=0 x=4y. Um autovetor conveniente é
v_2 = \begin{pmatrix}4\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 4

Os vetores v_1=(1,1) e v_2=(4,1) são claramente independentes (não são múltiplos um do outro), logo formam uma base do \mathbb{R}^2. Denotemos por
P = \bigl[v_1\;v_2\bigr] = \begin{pmatrix} 1 & 4\\\\ 1 & 1 \end{pmatrix}
a matriz de mudança de base da base canônica para a base \{v_1,v_2\}.

Passo 5

Na nova base, a matriz de T é
P^{-1}AP.
Calculando (ou usando a propriedade de diagonalização por autovetores), obtemos
P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & -2 \end{pmatrix}.
Isso mostra que a matriz de T na base de autovetores é diagonal, com os autovalores na diagonal principal.

Resposta

(a) Os autovalores são \lambda_1=1 e \lambda_2=-2.
(b) Os autovetores \,v_1=(1,1) e v_2=(4,1) são independentes e formam uma base de \mathbb{R}^2. Na base \{v_1,v_2\}, a matriz de T é
\begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & -2 \end{pmatrix},
ou seja, uma matriz diagonal.

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