(a) Mostre que \lambda_{1}=1 e \lambda_{2}=-2 são autovalores de T.
(b) Mostre que os autovetores associados a \lambda_{1} e \lambda_{2} formam uma base \left\{v_{1}, v_{2}\right\} para T. Esta base é chamada de base de autovetores do espaço. Calcule a matriz da transformação nesta nova base. O que podemos dizer sobre esta matriz?
O conteúdo é cálculo de autovalores e autovetores, e diagonalização de T. Para resolver, vamos (1) achar o polinômio característico de A, (2) extrair os autovalores \lambda, (3) encontrar vetores não-nulos tais que (A-\lambda I)v=0, (4) mostrar que esses vetores são independentes, e (5) montar a matriz na base de autovetores.
Isso mostra que a matriz de T na base de autovetores é diagonal, com os autovalores na diagonal principal.
Resposta
(a) Os autovalores são \lambda_1=1 e \lambda_2=-2.
(b) Os autovetores \,v_1=(1,1) e v_2=(4,1) são independentes e formam uma base de \mathbb{R}^2. Na base \{v_1,v_2\}, a matriz de T é