Sobre cônicas é correto afirmar que :
\times \quad \mathrm{V} \quad A cônica de equação geral x^{2}-y^{2}-10 y-25=0 é uma cônica degenerada cuja representação geométrica é dada pela união das retas y=x+5 e y=-x+5.
\times \quad \mathrm{V} \quad A cônica de equação geral y^{2}-4 y-20 x+-296=0 é uma parábola de vértice V=(2,15) com reta diretriz x=-3.
\checkmark \quad \mathrm{V} \quad A cônica de equação geral x^{2}+y^{2}-10 x+4 y+25=0 é uma circunferência centrada em C=(5,-2) com raio r=2.
\times \quad \mathrm{V} A cônica de equação geral 4 x^{2}+25 y^{2}+120 x-400 y=800 é uma elipse de eixo maior paralelo ao eixo x e de excentricidade e=\frac{2}{5}.
\checkmark F A cônica de equação geral 2 x^{2}-15 y^{2}-20 x-150 y=355 é uma hipérbole que tem um vértice em V=(-10,-5) e tem como assíntotas as retas y+5= \pm \frac{2}{15}(x-5).

Passo 1

O enunciado pede para verificar a veracidade de cinco afirmações sobre cônicas dadas em forma geral. O conteúdo envolve completar quadrados para colocar cada equação em sua forma canônica e, a partir daí, identificar o tipo de cônica, seus parâmetros (centro ou vértice, raio ou distância focal, etc.) e comparar com o que foi declarado em cada item.

Passo 2

Analisando a equação
x^{2}-y^{2}-10y-25=0
agrupamos em x e y:
x^{2}-\bigl(y^{2}+10y+25\bigr)=0
x^{2}-(y+5)^{2}=0
\bigl(x-(y+5)\bigr)\bigl(x+(y+5)\bigr)=0
logo as retas são
x-(y+5)=0\;\Rightarrow\;y=x-5 \quad\text{e}\quad x+(y+5)=0\;\Rightarrow\;y=-x-5.
O item dizia y=x+5 e y=-x+5, portanto está incorreto.

Passo 3

Analisando
y^{2}-4y-20x-296=0
completamos quadrado em y:
(y-2)^{2}-4-20x-296=0
(y-2)^{2}=20x+300
(y-2)^{2}=20\bigl(x+15\bigr).
Isto é uma parábola com vértice \bigl(-15,2\bigr) e parâmetro 4p=20\implies p=5, reta-diretriz x=-15-5=-20. O item dizia vértice (2,15) e diretriz x=-3, também incorreto.

Passo 4

Analisando
x^{2}+y^{2}-10x+4y+25=0
completamos quadrados:
(x-5)^{2}-25+(y+2)^{2}-4+25=0
(x-5)^{2}+(y+2)^{2}=4
É uma circunferência de centro C=(5,-2) e raio r=2. Coincide exatamente com o item, logo está correto.

Passo 5

Analisando
4x^{2}+25y^{2}+120x-400y=800
escrevemos
4(x^{2}+30x)+25(y^{2}-16y)=800
4\bigl((x+15)^{2}-225\bigr)+25\bigl((y-8)^{2}-64\bigr)=800
4(x+15)^{2}+25(y-8)^{2}=3300
\frac{(x+15)^{2}}{825}+\frac{(y-8)^{2}}{132}=1.
É elipse com eixo maior paralelo a x, mas a excentricidade é
e=\sqrt{1-\frac{132}{825}}=\sqrt{\frac{693}{825}}\approx0,9165\neq\frac{2}{5}.
Item incorreto.

Passo 6

Analisando
2x^{2}-15y^{2}-20x-150y=355
completamos quadrados:
2\bigl((x-5)^{2}-25\bigr)-15\bigl((y+5)^{2}-25\bigr)=355
2(x-5)^{2}-15(y+5)^{2}=30
\frac{(x-5)^{2}}{15}-\frac{(y+5)^{2}}{2}=1.
É uma hipérbole centrada em (5,-5), com vértices em \bigl(5\pm\sqrt{15},-5\bigr) e assimptóticas
y+5=\pm\sqrt{\frac{2}{15}}\,(x-5).
O item dizia vértice em (-10,-5) e coeficiente \pm\frac{2}{15}, incorreto.

Resposta

  1. F
  2. F
  3. V
  4. F
  5. F

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