Considere os pontos da tabela abaixo:
x 1 2 4
f(x) 3 7 39
a) Construa o polinômio interpolador de Lagrange P_{2}(x)
b) Calcule P_{2}(3) e interprete o resultado

Passo 1

O enunciado dá três pontos (1,3), (2,7) e (4,39) e pede o polinômio interpolador de Lagrange de grau 2, P_{2}(x), e o valor P_{2}(3). O conteúdo aqui é interpolação polinomial usando as bases de Lagrange.

Passo 2

Usamos a fórmula
P_{2}(x)=\sum_{i=0}^{2}f(x_{i})\,L_{i}(x)
com x_{0}=1, x_{1}=2, x_{2}=4. Os polinômios de base são
L_{0}(x)=\frac{(x-2)(x-4)}{(1-2)(1-4)}=\frac{(x-2)(x-4)}{3},
L_{1}(x)=\frac{(x-1)(x-4)}{(2-1)(2-4)}=-\frac{(x-1)(x-4)}{2},
L_{2}(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{(4-1)(4-2)}=\frac{(x-1)(x-2)}{6}.
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P_{2}(x)=3\cdot\frac{(x-2)(x-4)}{3}+7\cdot\Bigl(-\frac{(x-1)(x-4)}{2}\Bigr)+39\cdot\frac{(x-1)(x-2)}{6}.

Passo 3

Agora expandimos e somamos termos semelhantes. Da expressão acima obtém-se
P_{2}(x)=(x-2)(x-4)-\frac{7}{2}(x-1)(x-4)+\frac{13}{2}(x-1)(x-2).
Calculando cada coeficiente resulta
P_{2}(x)=4x^{2}-8x+7.

Passo 4

Calculamos
P_{2}(3)=4\cdot3^{2}-8\cdot3+7=36-24+7=19.
Isto significa que, segundo o polinômio interpolador pelos três pontos dados, o valor estimado de f(3) é 19.

Resposta

(a) P_{2}(x)=4x^{2}-8x+7
(b) P_{2}(3)=19, que é a estimativa de f(3) pelo interpolador.

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