Explique por que o método de Gauss-Seidel geralmente converge mais rapidamente que o método de Jacobi para sistemas com matriz diagonal dominante.

Passo 1

O enunciado pede para comparar a velocidade de convergência dos métodos iterativos de Jacobi e de Gauss–Seidel na resolução de um sistema linear A x = b em que A é diagonalmente dominante. O conteúdo principal envolve: decompor A em partes diagonais e estritamente triangulares, definir as matrizes de iteração de cada método e usar propriedades de raio espectral para justificar porque Gauss–Seidel converge mais rápido.

Passo 2

Decompondo A em
A = D - L - U,
onde D é a diagonal de A, -L é a parte estritamente triangular inferior e -U é a parte estritamente triangular superior, obtemos os esquemas de iteração:
– Método de Jacobi:
x^{(k+1)} = D^{-1}(L+U)\,x^{(k)} + D^{-1}b.
A matriz de iteração é
M_J = D^{-1}(L+U).
– Método de Gauss–Seidel:
x^{(k+1)} = (D - L)^{-1} U\,x^{(k)} + (D - L)^{-1}b,
com matriz de iteração
M_{GS} = (D - L)^{-1}U.

Passo 3

Para matrizes diagonalmente dominantes, ambos os métodos convergem pois
\rho(M_J)<1 \quad\text{e}\quad \rho(M_{GS})<1,
onde \rho(\cdot) é o raio espectral. Além disso vale, em geral,
\rho(M_{GS}) \le \rho(M_J),
e em muitos casos estritamente
\rho(M_{GS}) < \rho(M_J).
Isso implica que o erro e^{(k)}=x^{(k)}-x^\ast se reduz mais rápido em cada iteração de Gauss–Seidel, pois
\|e^{(k+1)}\|\approx \rho(M)\,\|e^{(k)}\|
e um \rho menor gera decaimento mais rápido.

Passo 4

Intuitivamente, Gauss–Seidel usa imediatamente os valores mais recentes de cada componente de x assim que são calculados, ao passo que Jacobi usa sempre toda a iteração anterior antes de atualizar qualquer componente. Esse “efeito in-place” faz com que as correções via Gauss–Seidel penetrem mais rapidamente nas componentes de baixo e alto erro, acelerando a convergência.

Resposta

Gauss–Seidel tende a convergir mais rápido porque sua matriz de iteração M_{GS}=(D-L)^{-1}U tem raio espectral menor (ou igual, mas tipicamente menor) que a matriz de iteração M_J=D^{-1}(L+U) de Jacobi, e porque Gauss–Seidel aproveita imediatamente os valores atualizados durante cada iteração, reduzindo o erro de modo mais eficaz.

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