Explique por que o método de Gauss-Seidel geralmente converge mais rapidamente que o método de Jacobi para sistemas com matriz diagonal dominante.
Passo 1
O enunciado pede para comparar a velocidade de convergência dos métodos iterativos de Jacobi e de Gauss–Seidel na resolução de um sistema linear
em que
é diagonalmente dominante. O conteúdo principal envolve: decompor
em partes diagonais e estritamente triangulares, definir as matrizes de iteração de cada método e usar propriedades de raio espectral para justificar porque Gauss–Seidel converge mais rápido.
Passo 2
Decompondo
em
onde
é a diagonal de
,
é a parte estritamente triangular inferior e
é a parte estritamente triangular superior, obtemos os esquemas de iteração:
– Método de Jacobi:
– Método de Jacobi:
A matriz de iteração é
– Método de Gauss–Seidel:
com matriz de iteração
Passo 3
Para matrizes diagonalmente dominantes, ambos os métodos convergem pois
onde
é o raio espectral. Além disso vale, em geral,
e em muitos casos estritamente
Isso implica que o erro
se reduz mais rápido em cada iteração de Gauss–Seidel, pois
e um
menor gera decaimento mais rápido.
Passo 4
Intuitivamente, Gauss–Seidel usa imediatamente os valores mais recentes de cada componente de
assim que são calculados, ao passo que Jacobi usa sempre toda a iteração anterior antes de atualizar qualquer componente. Esse “efeito in-place” faz com que as correções via Gauss–Seidel penetrem mais rapidamente nas componentes de baixo e alto erro, acelerando a convergência.
Resposta
Gauss–Seidel tende a convergir mais rápido porque sua matriz de iteração
tem raio espectral menor (ou igual, mas tipicamente menor) que a matriz de iteração
de Jacobi, e porque Gauss–Seidel aproveita imediatamente os valores atualizados durante cada iteração, reduzindo o erro de modo mais eficaz.