Considere os pontos
A(2,0,0), B(1,1,1), C(0,1,1) e D(5,2,2)
O triângulo A B C é retângulo? Justifique sua resposta!

Passo 1

O enunciado dá os pontos
A(2,0,0), B(1,1,1), C(0,1,1)
e pede para verificar se o triângulo ABC é retângulo. Para isso vamos usar produto escalar: dois vetores são perpendiculares se, e só se, seu produto escalar for zero.

Passo 2

Calcular os vetores associados aos lados:
AB=B-A=(1-2,;1-0,;1-0)=(-1,1,1),
AC=C-A=(0-2,;1-0,;1-0)=(-2,1,1),
BC=C-B=(0-1,;1-1,;1-1)=(-1,0,0)

Passo 3

Calcular os produtos escalares:
ABcdotAC=(-1)(-2)+1cdot1+1cdot1=2+1+1=4neq0,
ABcdotBC=(-1)(-1)+1cdot0+1cdot0=1neq0,
ACcdotBC=(-2)(-1)+1cdot0+1cdot0=2neq0

Passo 4

Como nenhum dos produtos escalares é zero, não há nenhum ângulo de 90^circ em ABC. Portanto o triângulo não é retângulo.

Resposta

O triângulo ABC não é retângulo.

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