Mostre que v1=(1,1,1), v2=(0,1,1), v3=(0,1,-1) são vetores LI.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que vec v1=(1,1,1), vec v2=(0,1,1) e vec v3=(0,1,-1) são linearmente independentes. Vamos usar a definição: são LI se, na combinação\r
alpha1vec v1+alpha2vec v2+alpha3vec v3=vec 0,\r
a única solução for alpha1=alpha2=alpha3=0.

Passo 2

Escrevendo a combinação em coordenadas, temos\r
alpha1(1,1,1)+alpha2(0,1,1)+alpha3(0,1,-1)=(0,0,0) \r
Isso gera o sistema de equações\r
alpha1 = 0,
alpha1 + alpha2 + alpha3 = 0,
alpha1 + alpha2 - alpha3 = 0

Passo 3

Da primeira equação segue imediatamente\r
alpha1 = 0

Passo 4

Substituindo alpha1=0 nas outras duas equações, obtemos\r
alpha2 + alpha3 = 0,
alpha2 - alpha3 = 0 \r
Somando-as dá 2alpha2=0, logo alpha2=0. Então de alpha2+alpha3=0 vem alpha3=0.

Resposta

As únicas soluções são alpha1=alpha2=alpha3=0, portanto vec v1,vec v2,vec v3 são linearmente independentes.

Exercícios relacionados