Dizemos que um operador linear T: R^n R^n é nilpotente se existir algum inteiro positivo tal que T^n=0, onde T^2=T circ T, T^3=T circ T^2, cdots, T^n=T circ T^n-1. Verifique se os operadores abaixo são nilpotentes:
T: R^2 R^2 ; T(x, y)=(0, x)

Passo 1

O enunciado nos dá um operador linear Tcolon R^2to R^2 definido por
T(x,y) = (0,x)
O que queremos é verificar se existe um inteiro positivo k tal que
T^k = 0,
isto é, se T é nilpotente.

Passo 2

Vamos compor T consigo mesma para obter T^2. Para um vetor arbitrário (x,y)inR^2:
T^2(x,y) ;=; Tl(T(x,y)r) ;=; Tl(0,xr) ;=;(0,,0)
Isso mostra que T^2 manda qualquer vetor de R^2 no vetor nulo.

Passo 3

Como T^2(x,y)=(0,0) para todo (x,y), o operador T^2 é justamente o operador zero. Logo
T^2 = 0
e, portanto, T é nilpotente de ordem 2.

Resposta

T é nilpotente, pois T^2=0.

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