Dizemos que um operador linear
é nilpotente se existir algum inteiro positivo tal que
, onde
. Verifique se os operadores abaixo são nilpotentes:
Passo 1
O enunciado nos dá um operador linear
definido por
O que queremos é verificar se existe um inteiro positivo
tal que
isto é, se
é nilpotente.
Passo 2
Vamos compor
consigo mesma para obter
. Para um vetor arbitrário
:
Isso mostra que
manda qualquer vetor de
no vetor nulo.
Passo 3
Como
para todo
, o operador
é justamente o operador zero. Logo
e, portanto,
é nilpotente de ordem
.