Considere os pontos A=(1,1,3), B=(-2,2,4), C=(2,-1,5), D=(-6,5,3), E=(-5,3,5) e F=(2,2,2). Verifique, usando as propriedades do produto vetorial, que os pontos:
a) A, B e C não são colineares.
b) A, B, C e D são coplanares.
c) A, B e E são coplanares.
d) A, B, C e F não são coplanares.

Passo 1

Temos os pontos
A=(1,1,3), B=(-2,2,4), C=(2,-1,5), D=(-6,5,3), E=(-5,3,5), F=(2,2,2)
O conteúdo é produto vetorial e produto misto (triplo escalar). Para três pontos testamos colinearidade verificando se ABtimesAC=0. Para quatro pontos testamos coplanaridade calculando o produto misto (ABtimesAC)cdotAX e vendo se é zero.

Passo 2

Calculamos
AB=B-A=(-3,1,1), AC=C-A=(1,-2,2)
O produto vetorial é
ABtimesAC =l(1cdot2-1cdot(-2),;-!( -3cdot2-1cdot1),;-3cdot(-2)-1cdot1r) =(4,7,5),
que é diferente de zero. Logo A,B,C não são colineares.

Passo 3

Para ver se A,B,C,D são coplanares, tomamos AD=D-A=(-7,4,0) e calculamos o produto misto
(ABtimesAC)cdotAD =(4,7,5)cdot(-7,4,0) =4cdot(-7)+7cdot4+5cdot0=0
Como o produto misto é zero, A,B,C,D são coplanares.

Passo 4

Para os pontos A,B,C,E calculamos AE=E-A=(-6,2,2) e
(ABtimesAC)cdotAE =(4,7,5)cdot(-6,2,2) =4cdot(-6)+7cdot2+5cdot2=-24+14+10=0
Logo A,B,C,E são coplanares.

Passo 5

Finalmente, para A,B,C,F usamos AF=F-A=(1,1,-1) e
(ABtimesAC)cdotAF =(4,7,5)cdot(1,1,-1) =4+7-5=6neq0
Portanto A,B,C,F não são coplanares.

Resposta

a) A,B,C não são colineares.
b) A,B,C,D são coplanares.
c) A,B,C,E são coplanares.
d) A,B,C,F não são coplanares.

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