Sejam v1, v2 e v3 vetores não-nulos mutualmente ortogonais do espaço.
a) Mostre que B=v1, v2, v3 é LI.
b) Por a), todo vetor w escreve-se de maneira única como CL de v1, v2 e v3. Sejam lambda1, lambda2, lambda3 in R tais que
w=lambda1 v1+lambda2 v2+lambda3 v3
Verifique que
lambdai=vi cdot w|vi|^2, i in1,2,3
c) Determine as coordenadas do vetor v=(3,1,-2) em relação à base
B=v1=(-1,1,0), v2=(0,0,1), v3=(1,1,0)
d) Obtenha as coordenadas de um vetor w com respeito à base B do item anterior, sabendo que |w|=4, ang<=(w, v1)=30^circ, ang<=(w, v2)=60^circ e ang<=(w, v3)=45^circ.
e) Encontre um vetor v3 de modo que B^prime=v1=(1raiz3, 1raiz3,-1raiz3), v2=(1raiz2, 0, 1raiz2), v3 é uma base ortonormal.
f) Ache as coordenadas do vetor v=(0,1,3) em relação à base do item anterior.

Passo 1

O enunciado trata de vetores não-nulos mutuamente ortogonais vec v1,vec v2,vec v3 em R^3.
Conteúdos envolvidos:
  • (a) provar independência linear de um conjunto ortogonal;
  • (b) obter coeficientes de decomposição numa base ortogonal;
  • (c–d) aplicar essa fórmula a casos concretos;
  • (e) completar um sistema ortonormal encontrando vec v3;
  • (f) calcular coordenadas numa base ortonormal pelo produto interno.

Passo 2

Para (a), suponha
lambda1vec v1+lambda2vec v2+lambda3vec v3=vec0
Fazendo produto interno com vec vi e usando vec vicdotvec vj=0 para ine j, dá
vec vicdotl(lambda1vec v1+lambda2vec v2+lambda3vec v3r) =lambdai|vec vi|^2=0 ;Longrightarrow;lambdai=0
Logo só a solução trivial existe, e B é LI.

Passo 3

Para (b), dada
vec w=lambda1vec v1+lambda2vec v2+lambda3vec v3,
fazendo produto interno com vec vi obtemos
vec vicdotvec w =lambda1(vec vicdotvec v1)+cdots+lambdai|vec vi|^2+cdots =lambdai|vec vi|^2
Assim
lambdai =vec vicdotvec w|vec vi|^2, i=1,2,3

Passo 4

Para (c), vec v=(3,1,-2) e
vec v1=(-1,1,0),; vec v2=(0,0,1),; vec v3=(1,1,0)
Calculamos
|vec v1|^2=2,;|vec v2|^2=1,;|vec v3|^2=2,
vec v1cdotvec v=-3+1=-2,
vec v2cdotvec v=-2,
vec v3cdotvec v=3+1=4.
Logo
lambda1=-2/2=-1, lambda2=-2/1=-2, lambda3=4/2=2

Passo 5

Para (d), |vec w|=4 e
ang<=(vec w,vec v1)=30^circ,
ang<=(vec w,vec v2)=60^circ,
ang<=(vec w,vec v3)=45^circ.
Usamos
vec vicdotvec w=|vec vi||vec w|costhetai e dividimos por |vec vi|^2:
lambda1 =raiz2cdot4cdotraiz322 =raiz6, lambda2 =1cdot4cdot121 =2, lambda3 =raiz2cdot4cdotraiz222 =2

Passo 6

Para (e), queremos vec v3=(x,y,z) ortogonal a
vec v1=(1/raiz3,1/raiz3,-1/raiz3) e
vec v2=(1/raiz2,0,1/raiz2) e unitário.
As equações são
vec v3cdotvec v1 =x+y-zraiz3=0, vec v3cdotvec v2 =x+zraiz2=0, x^2+y^2+z^2=1
Da segunda vem z=-x, da primeira x+y-(-x)=0Rightarrow y=-2x.
Então |vec v3|^2=6x^2=1Rightarrow x=pm1/raiz6.
Escolhendo o sinal +,
vec v3=l(tfrac1raiz6,-tfrac2raiz6,-tfrac1raiz6r)

Passo 7

Para (f), com base ortonormal vec v1,vec v2,vec v3, as coordenadas de vec v=(0,1,3) são
alphai=vec vcdotvec vi
Calculamos
alpha1=(0+1-3)/raiz3=-2/raiz3,
alpha2=(0+0+3)/raiz2=3/raiz2,
alpha3=(0cdot1-2cdot1+3cdot(-1))/raiz6=(-5)/raiz6.

Resposta

a) B é LI.
b) lambdai=vec vicdotvec w|vec vi|^2.
c) Coordenadas de (3,1,-2) em B: (-1,-2,2).
d) Coordenadas de vec w: l(raiz6,,2,,2r).
e) Pode-se escolher
vec v3=l(1/raiz6,,-2/raiz6,,-1/raiz6r).
f) Coordenadas de (0,1,3) na base ortonormal:
l(-2/raiz3,;3/raiz2,;-5/raiz6r).

Exercícios relacionados