Sejam e vetores não-nulos mutualmente ortogonais do espaço.
a) Mostre que é LI.
b) Por a), todo vetor escreve-se de maneira única como CL de e . Sejam tais que
Verifique que
c) Determine as coordenadas do vetor v=(3,1,-2) em relação à base
B=v1=(-1,1,0), v2=(0,0,1), v3=(1,1,0)
d) Obtenha as coordenadas de um vetor w com respeito à base B do item anterior, sabendo que |w|=4, ang<=(w, v1)=30^circ, ang<=(w, v2)=60^circ e ang<=(w, v3)=45^circ.
e) Encontre um vetor v3 de modo que B^prime=v1=(1raiz3, 1raiz3,-1raiz3), v2=(1raiz2, 0, 1raiz2), v3 é uma base ortonormal.
f) Ache as coordenadas do vetor v=(0,1,3) em relação à base do item anterior.
Passo 1
O enunciado trata de vetores não-nulos mutuamente ortogonais vec v1,vec v2,vec v3 em R^3.
Conteúdos envolvidos:
(a) provar independência linear de um conjunto ortogonal;
(b) obter coeficientes de decomposição numa base ortogonal;
(c–d) aplicar essa fórmula a casos concretos;
(e) completar um sistema ortonormal encontrando vec v3;
(f) calcular coordenadas numa base ortonormal pelo produto interno.
Passo 2
Para (a), suponha
lambda1vec v1+lambda2vec v2+lambda3vec v3=vec0
Fazendo produto interno com vec vi e usando vec vicdotvec vj=0 para ine j, dá
a) B é LI.
b) lambdai=vec vicdotvec w|vec vi|^2.
c) Coordenadas de (3,1,-2) em B: (-1,-2,2).
d) Coordenadas de vec w: l(raiz6,,2,,2r).
e) Pode-se escolher vec v3=l(1/raiz6,,-2/raiz6,,-1/raiz6r).
f) Coordenadas de (0,1,3) na base ortonormal: l(-2/raiz3,;3/raiz2,;-5/raiz6r).