Considere os pontos (x, y)=(-2,0),(-1,1),(0,2),(1,3). Queremos calcular L_{3}(0.5), onde L_{3} é o polinômio de Lagrange de 3 o grau que aproxima os pontos dados. Considerando os pontos na ordem em que foram dados, responda:
Qual é o terceiro termo da fórmula de L_{3} ?

Passo 1

Você me deu quatro pontos, na ordem em que aparecem: (-2,0),(-1,1),(0,2),(1,3). Queremos o polinômio de Lagrange de grau 3, L_{3}(x), que interpola esses pontos, e a pergunta específica é: qual é o terceiro termo da soma que define L_{3}, considerando os pontos na ordem dada?
Informações relevantes listadas:
  • Nós temos os nós (abscissas) \,x_0=-2,\;x_1=-1,\;x_2=0,\;x_3=1\,.
  • Os valores correspondentes (ordenadas) são \,y_0=0,\;y_1=1,\;y_2=2,\;y_3=3\,.
  • O “terceiro termo” refere-se ao termo associado ao terceiro ponto na ordem dada, isto é, ao par (0,2) (ou seja, ao índice \,2 se começarmos em \,0).

Passo 2

Vou lembrar a fórmula de Lagrange de forma didática. O polinômio interpolador de grau 3 é dado por
L_{3}(x)=\sum_{j=0}^{3} y_j\,\ell_j(x),
onde cada \ell_j(x) é o polinômio de base de Lagrange associado ao nó x_j. Explicando cada parte:
  • \,y_j é o valor da função no nó x_j (a ordenada do ponto).
  • \,\ell_j(x) é construído para valer 1 em x=x_j e 0 em todos os outros nós x_k com k\neq j.
    A fórmula do \ell_j(x) é
\ell_j(x)=\prod_{\substack{m=0\m\neq j}}^{3}\frac{x-x_m}{x_j-x_m}.
Aqui, o produto percorre todos os nós exceto m=j.

Passo 3

Identificamos o “terceiro termo” como o termo com j=2, porque o terceiro ponto na ordem dada é (x_2,y_2)=(0,2). Então o terceiro termo é
y_2\,\ell_2(x)=2\cdot \ell_2(x).

Passo 4

Agora vamos montar \ell_2(x) usando explicitamente os outros nós \,x_0=-2,\;x_1=-1,\;x_3=1. Pela fórmula do produto:
\ell_2(x)=\frac{x-x_0}{x_2-x_0}\cdot\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\cdot\frac{x-x_3}{x_2-x_3}.
Substituindo os valores:
\ell_2(x)=\frac{x-(-2)}{0-(-2)}\cdot\frac{x-(-1)}{0-(-1)}\cdot\frac{x-1}{0-1}.

Passo 5

Calculemos cada denominador passo a passo:
  • 0-(-2)=2,
  • 0-(-1)=1,
  • 0-1=-1.
    Portanto
\ell_2(x)=\frac{x+2}{2}\cdot\frac{x+1}{1}\cdot\frac{x-1}{-1}.
Multiplicando os sinais e números:
\ell_2(x)=\frac{(x+2)(x+1)(x-1)}{2\cdot1\cdot(-1)}=-\frac{1}{2}(x+2)(x+1)(x-1).

Passo 6

Multiplicamos por y_2=2 para obter o terceiro termo de L_{3}:
y_2\,\ell_2(x)=2\cdot\left(-\frac{1}{2}(x+2)(x+1)(x-1)\right) = - (x+2)(x+1)(x-1).
Se você preferir a forma expandida, podemos desenvolver:
(x+1)(x-1)=x^{2}-1,
(x+2)(x^{2}-1)=x^{3}+2x^{2}-x-2,
portanto a forma expandida do termo é
-\,\bigl(x^{3}+2x^{2}-x-2\bigr) = -x^{3}-2x^{2}+x+2.

Resposta

-\,(x+2)(x+1)(x-1)

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