Considere os pontos (x, y)=(-2,0),(-1,1),(0,2),(1,3). Queremos calcular L_{3}(0.5), onde L_{3} é o polinômio de Lagrange de 3 o grau que aproxima os pontos dados. Considerando os pontos na ordem em que foram dados, responda:
Qual é o terceiro termo da fórmula de L_{3} ?
Qual é o terceiro termo da fórmula de L_{3} ?
Passo 1
Você me deu quatro pontos, na ordem em que aparecem:
. Queremos o polinômio de Lagrange de grau 3,
, que interpola esses pontos, e a pergunta específica é: qual é o terceiro termo da soma que define
, considerando os pontos na ordem dada?
Informações relevantes listadas:
Informações relevantes listadas:
- Nós temos os nós (abscissas)
. - Os valores correspondentes (ordenadas) são
. - O “terceiro termo” refere-se ao termo associado ao terceiro ponto na ordem dada, isto é, ao par
(ou seja, ao índice se começarmos em ).
Passo 2
Vou lembrar a fórmula de Lagrange de forma didática. O polinômio interpolador de grau
é dado por
onde cada
é o polinômio de base de Lagrange associado ao nó
. Explicando cada parte:
-
é o valor da função no nó (a ordenada do ponto). -
é construído para valer em e em todos os outros nós com .
A fórmula doé
Aqui, o produto percorre todos os nós exceto
.
Passo 3
Identificamos o “terceiro termo” como o termo com
, porque o terceiro ponto na ordem dada é
. Então o terceiro termo é
Passo 4
Agora vamos montar
usando explicitamente os outros nós
. Pela fórmula do produto:
Substituindo os valores:
Passo 5
Calculemos cada denominador passo a passo:
-
, -
, -
.
Portanto
Multiplicando os sinais e números:
Passo 6
Multiplicamos por
para obter o terceiro termo de
:
Se você preferir a forma expandida, podemos desenvolver:
portanto a forma expandida do termo é