Considere os pontos (x, y)=(-2,0),(-1,1),(0,2),(1,3). Queremos calcular L_{3}(0.5), onde L_{3} é o polinômio de Lagrange de 3 o grau que aproxima os pontos dados. Considerando os pontos na ordem em que foram dados, responda:
Qual é o segundo termo da fórmula de L_{3} ?

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos, na ordem indicada: (-2,0), (-1,1), (0,2), (1,3). Queremos o segundo termo da fórmula do polinômio de Lagrange de grau 3, L_{3}, quando os pontos são considerados nessa ordem. Lista das informações relevantes:
(x_0,y_0)=(-2,0),\quad (x_1,y_1)=(-1,1),\quad (x_2,y_2)=(0,2),\quad (x_3,y_3)=(1,3).
O “segundo termo” refere-se ao termo associado ao segundo ponto na ordem dada, isto é, ao índice j=1.

Passo 2

Vou lembrar a fórmula geral do polinômio de Lagrange: o polinômio interpolador de grau 3 é
L_{3}(x)=\sum_{j=0}^{3} y_j\,\ell_j(x),
onde cada base de Lagrange \ell_j(x) é definida por
\ell_j(x)=\prod_{\substack{m=0 \\\ m\neq j}}^{3}\frac{x-x_m}{x_j-x_m}.
Aqui x_m e x_j são as abscissas dos pontos dados e y_j é a ordenada correspondente. O termo pedido é y_1\,\ell_1(x).

Passo 3

Escrevo explicitamente \ell_1(x) usando os nós x_0=-2, x_1=-1, x_2=0, x_3=1:
\ell_1(x)=\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\cdot\frac{x-x_2}{x_1-x_2}\cdot\frac{x-x_3}{x_1-x_3} =\frac{x-(-2)}{-1-(-2)}\cdot\frac{x-0}{-1-0}\cdot\frac{x-1}{-1-1}.

Passo 4

Calculo cada denominador separadamente:
x_1-x_0 = -1-(-2)=1,
x_1-x_2 = -1-0=-1,
x_1-x_3 = -1-1=-2.

Passo 5

Substituindo os denominadores e simplificando os sinais:
\ell_1(x)=\frac{x+2}{1}\cdot\frac{x}{-1}\cdot\frac{x-1}{-2}.
Isso é
\ell_1(x)=(x+2)\cdot\left(-x\right)\cdot\frac{x-1}{-2}.

Passo 6

Multiplico e simplifico os sinais com cuidado: dividir por -2 equivale a multiplicar por -\tfrac{1}{2}. Então
\ell_1(x)=(x+2)\cdot(-x)\cdot(x-1)\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right).
Os dois sinais negativos se cancelam e sobra um fator \tfrac{1}{2}, portanto
\ell_1(x)=\tfrac{1}{2}\,x\,(x+2)\,(x-1).

Passo 7

Multiplicando por y_1. Como y_1=1, o segundo termo de L_{3} é
y_1\,\ell_1(x)=1\cdot \tfrac{1}{2}\,x\,(x+2)\,(x-1)=\tfrac{1}{2}\,x\,(x+2)\,(x-1).

Resposta

\tfrac{1}{2}\,x\,(x+2)\,(x-1)

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