Considere os pontos (x, y)=(-2,0),(-1,1),(0,2),(1,3). Queremos calcular L_{3}(0.5), onde L_{3} é o polinômio de Lagrange de 3 o grau que aproxima os pontos dados. Considerando os pontos na ordem em que foram dados, responda:
Qual é o segundo termo da fórmula de L_{3} ?
Qual é o segundo termo da fórmula de L_{3} ?
Passo 1
O enunciado dá quatro pontos, na ordem indicada:
,
,
,
. Queremos o segundo termo da fórmula do polinômio de Lagrange de grau 3,
, quando os pontos são considerados nessa ordem. Lista das informações relevantes:
O “segundo termo” refere-se ao termo associado ao segundo ponto na ordem dada, isto é, ao índice
.
Passo 2
Vou lembrar a fórmula geral do polinômio de Lagrange: o polinômio interpolador de grau
é
onde cada base de Lagrange
é definida por
Aqui
e
são as abscissas dos pontos dados e
é a ordenada correspondente. O termo pedido é
.
Passo 3
Escrevo explicitamente
usando os nós
,
,
,
:
Passo 4
Calculo cada denominador separadamente:
Passo 5
Substituindo os denominadores e simplificando os sinais:
Isso é
Passo 6
Multiplico e simplifico os sinais com cuidado: dividir por
equivale a multiplicar por
. Então
Os dois sinais negativos se cancelam e sobra um fator
, portanto
Passo 7
Multiplicando por
. Como
, o segundo termo de
é