Considere os pontos (x, y)=(-2,0),(-1,1),(0,2),(1,3). Queremos calcular L_{3}(0.5), onde L_{3} é o polinômio de Lagrange de 3 o grau que aproxima os pontos dados. Considerando os pontos na ordem em que foram dados, responda:
Qual é o primeiro termo da fórmula de L_{3} ?
Qual é o primeiro termo da fórmula de L_{3} ?
Passo 1
O enunciado dá os pontos
(nessa ordem) e pede o primeiro termo da fórmula do polinômio
que interpola esses pontos, isto é, o termo correspondente ao primeiro ponto da lista.
Informações relevantes: os pares ,
,
,
. A pergunta: qual é o primeiro termo (o termo com
) em
?
Informações relevantes: os pares
Passo 2
Vamos lembrar a forma geral usada aqui (explicando bem): o polinômio interpolador de Lagrange de grau
é dado por
onde cada base de Lagrange
é definida por
Explicando as letras:
são as abscissas (os pontos de interpolação),
é o valor da função no ponto
. O termo “primeiro termo” que o enunciado pede é
(porque os pontos foram dados na ordem e o primeiro é o índice
).
Passo 3
Identificamos explicitamente as abscissas e ordenadas:
Então o primeiro termo é
. Vamos calcular
e depois multiplicar por
.
Passo 4
Calcular
usando a definição:
Substituindo os valores:
Passo 5
Simplificamos cada fator:
Multiplicando numerador e denominador:
O denominador é
. Portanto
Passo 6
Agora o primeiro termo é
. Como
, temos
Conclusão: o primeiro termo da soma do polinômio de Lagrange é o zero (contribuição nula), porque o
correspondente ao primeiro ponto é
.