Considere os pontos (x, y)=(-2,0),(-1,1),(0,2),(1,3). Queremos calcular L_{3}(0.5), onde L_{3} é o polinômio de Lagrange de 3 o grau que aproxima os pontos dados. Considerando os pontos na ordem em que foram dados, responda:
Qual é o primeiro termo da fórmula de L_{3} ?

Passo 1

O enunciado dá os pontos (-2,0),(-1,1),(0,2),(1,3) (nessa ordem) e pede o primeiro termo da fórmula do polinômio L_{3} que interpola esses pontos, isto é, o termo correspondente ao primeiro ponto da lista.
Informações relevantes: os pares (x_{0},y_{0})=(-2,0), (x_{1},y_{1})=(-1,1), (x_{2},y_{2})=(0,2), (x_{3},y_{3})=(1,3). A pergunta: qual é o primeiro termo (o termo com y_{0}) em L_{3}?

Passo 2

Vamos lembrar a forma geral usada aqui (explicando bem): o polinômio interpolador de Lagrange de grau 3 é dado por
L_{3}(x)=\sum_{j=0}^{3} y_{j}\,\ell_{j}(x),
onde cada base de Lagrange \ell_{j}(x) é definida por
\ell_{j}(x)=\prod_{\substack{m=0\m\neq j}}^{3}\frac{x-x_{m}}{x_{j}-x_{m}}.
Explicando as letras: \{x_{m}\} são as abscissas (os pontos de interpolação), y_{j} é o valor da função no ponto x_{j}. O termo “primeiro termo” que o enunciado pede é y_{0}\,\ell_{0}(x) (porque os pontos foram dados na ordem e o primeiro é o índice 0).

Passo 3

Identificamos explicitamente as abscissas e ordenadas:
x_{0}=-2,\quad y_{0}=0;
x_{1}=-1,\quad y_{1}=1;
x_{2}=0,\quad y_{2}=2;
x_{3}=1,\quad y_{3}=3.
Então o primeiro termo é y_{0}\,\ell_{0}(x). Vamos calcular \ell_{0}(x) e depois multiplicar por y_{0}.

Passo 4

Calcular \ell_{0}(x) usando a definição:
\ell_{0}(x)=\frac{x-x_{1}}{x_{0}-x_{1}}\cdot\frac{x-x_{2}}{x_{0}-x_{2}}\cdot\frac{x-x_{3}}{x_{0}-x_{3}}.
Substituindo os valores:
\ell_{0}(x)=\frac{x-(-1)}{-2-(-1)}\cdot\frac{x-0}{-2-0}\cdot\frac{x-1}{-2-1}.

Passo 5

Simplificamos cada fator:
\frac{x-(-1)}{-2-(-1)}=\frac{x+1}{-1},\qquad \frac{x-0}{-2-0}=\frac{x}{-2},\qquad \frac{x-1}{-2-1}=\frac{x-1}{-3}.
Multiplicando numerador e denominador:
\ell_{0}(x)=\frac{(x+1)\,x\,(x-1)}{(-1)\cdot(-2)\cdot(-3)}.
O denominador é (-1)\cdot(-2)\cdot(-3)=-6. Portanto
\ell_{0}(x)=\frac{(x+1)\,x\,(x-1)}{-6}=-\frac{(x+1)\,x\,(x-1)}{6}.

Passo 6

Agora o primeiro termo é y_{0}\,\ell_{0}(x). Como y_{0}=0, temos
y_{0}\,\ell_{0}(x)=0\cdot\left(-\frac{(x+1)\,x\,(x-1)}{6}\right)=0.
Conclusão: o primeiro termo da soma do polinômio de Lagrange é o zero (contribuição nula), porque o y correspondente ao primeiro ponto é 0.

Resposta

0

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