Considere os pontos (x, y)=(-2,0),(-1,1),(0,2),(1,3). Queremos calcular L_{3}(0.5), onde L_{3} é o polinômio de Lagrange de 3 o grau que aproxima os pontos dados. Considerando os pontos na ordem em que foram dados, responda:
Qual é o primeiro termo da fórmula de L_{3} ? \square
Qual é o segundo termo da fórmula de L_{3} ? \square
Qual é o terceiro termo da fórmula de L_{3} ? \square
Qual é o quarto termo da fórmula de L_{3} ? \square
Qual é o valor de L_{3}(0.5) ? \square

Passo 1

Enunciado e o que é pedido. Temos quatro pontos, na ordem dada:
(x_0,y_0)=(-2,0),\quad (x_1,y_1)=(-1,1),\quad (x_2,y_2)=(0,2),\quad (x_3,y_3)=(1,3).
O que o problema pergunta, em linhas claras:
  1. Qual é o primeiro termo da fórmula de L_{3}?
  2. Qual é o segundo termo da fórmula de L_{3}?
  3. Qual é o terceiro termo da fórmula de L_{3}?
  4. Qual é o quarto termo da fórmula de L_{3}?
  5. Qual é o valor de L_{3}(0{,}5)?
Observação: por “termo” entendo o termo correspondente a cada ponto na soma do polinômio de Lagrange,
ou seja, os termos y_i\ell_i(x) para i=0,1,2,3.

Passo 2

Fórmula geral do polinômio de Lagrange (mini-aula). O polinômio interpolador de grau \le 3 é
L_{3}(x)=\sum_{i=0}^{3} y_i\,\ell_i(x),
onde cada base de Lagrange \ell_i(x) é
\ell_i(x)=\prod_{\substack{j=0\j\neq i}}^{3}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
Aqui x_j são as abscissas dos pontos dados e y_i os correspondentes valores. A ideia: \ell_i(x_k)=\delta_{ik} (valem 1 quando k=i e 0 quando k\neq i), então a soma reproduz exatamente os valores nos nós.

Passo 3

Calculemos o primeiro termo y_0\ell_0(x). Usando x_0=-2 e os outros x_j:
\ell_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)} =\frac{(x+1)(x-0)(x-1)}{(-2-(-1))(-2-0)(-2-1)}.
Agora calcule os denominadores passo a passo:
(-2-(-1))=-1,\quad (-2-0)=-2,\quad (-2-1)=-3,
produto: (-1)(-2)(-3)=-6. Logo
\ell_0(x)=\frac{(x+1)x(x-1)}{-6}.
Multiplicando por y_0=0 (importante observar isso!):
y_0\ell_0(x)=0\cdot\frac{(x+1)x(x-1)}{-6}=0.

Passo 4

Calculemos o segundo termo y_1\ell_1(x). Usando x_1=-1:
\ell_1(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)} =\frac{(x+2)(x-0)(x-1)}{(-1-(-2))(-1-0)(-1-1)}.
Denominadores:
(-1-(-2))=1,\quad (-1-0)=-1,\quad (-1-1)=-2,
produto: 1\cdot(-1)\cdot(-2)=2. Assim
\ell_1(x)=\frac{(x+2)x(x-1)}{2}.
Multiplicando por y_1=1:
y_1\ell_1(x)=\frac{(x+2)x(x-1)}{2}.

Passo 5

Calculemos o terceiro termo y_2\ell_2(x). Com x_2=0:
\ell_2(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)}{(0-(-2))(0-(-1))(0-1)} =\frac{(x+2)(x+1)(x-1)}{(2)(1)(-1)}.
Denominador: 2\cdot1\cdot(-1)=-2. Logo
\ell_2(x)=\frac{(x+2)(x+1)(x-1)}{-2}=-\frac{(x+2)(x+1)(x-1)}{2}.
Multiplicando por y_2=2:
y_2\ell_2(x)=2\cdot\left(-\frac{(x+2)(x+1)(x-1)}{2}\right)=-(x+2)(x+1)(x-1).

Passo 6

Calculemos o quarto termo y_3\ell_3(x). Com x_3=1:
\ell_3(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(1-(-2))(1-(-1))(1-0)} =\frac{(x+2)(x+1)x}{(3)(2)(1)}.
Denominador: 3\cdot2\cdot1=6. Assim
\ell_3(x)=\frac{(x+2)(x+1)x}{6}.
Multiplicando por y_3=3:
y_3\ell_3(x)=3\cdot\frac{(x+2)(x+1)x}{6}=\frac{(x+2)(x+1)x}{2}.

Passo 7

Escrevendo L_{3}(x) como soma dos quatro termos que calculamos:
L_{3}(x)=0+\frac{(x+2)x(x-1)}{2} - (x+2)(x+1)(x-1) + \frac{(x+2)(x+1)x}{2}.
Mini-observação útil (estratégia de prova/avaliação rápida): dá para fatorar (x+2) em todos os termos não nulos e simplificar; também podemos notar que os quatro pontos obedecem à reta y=x+2 (verificação rápida: para x=-2,-1,0,1 obtemos 0,1,2,3), então o polinômio interpolador será exatamente L_{3}(x)=x+2 (o interpolador de grau 3 “colapsa” para a reta quando os dados são colineares). Mas vamos seguir para avaliar numericamente em x=0{,}5 mostrando conta direta.

Passo 8

Avaliação direta em x=0{,}5. Calculamos cada termo em x=0{,}5:
Termo 1: 0.
Termo 2:
\frac{(x+2)x(x-1)}{2}\Big|_{x=0{,}5}=\frac{(2{,}5)(0{,}5)(-0{,}5)}{2} =\frac{-0{,}625}{2}=-0{,}3125.
Termo 3:
-(x+2)(x+1)(x-1)\Big|_{x=0{,}5}=-(2{,}5)(1{,}5)(-0{,}5)= -(-1{,}875)=1{,}875.
Termo 4:
\frac{(x+2)(x+1)x}{2}\Big|_{x=0{,}5}=\frac{(2{,}5)(1{,}5)(0{,}5)}{2}=\frac{1{,}875}{2}=0{,}9375.
Somando:
L_{3}(0{,}5)=0-0{,}3125+1{,}875+0{,}9375=2{,}5=\frac{5}{2}.
Confirmação com a reta x+2: 0{,}5+2=2{,}5. Consistente.

Resposta

Primeiro termo: \displaystyle 0\cdot\frac{(x+1)x(x-1)}{(-2+1)(-2-0)(-2-1)}=0
Segundo termo: \displaystyle 1\cdot\frac{(x+2)x(x-1)}{(-1+2)(-1-0)(-1-1)}=\frac{(x+2)x(x-1)}{2}
Terceiro termo: \displaystyle 2\cdot\frac{(x+2)(x+1)(x-1)}{(0+2)(0+1)(0-1)}=-(x+2)(x+1)(x-1)
Quarto termo: \displaystyle 3\cdot\frac{(x+2)(x+1)x}{(1+2)(1+1)(1-0)}=\frac{(x+2)(x+1)x}{2}
L_{3}(0{,}5)=\displaystyle\frac{5}{2}

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