Considere os pontos (x, y)=(-2,0),(-1,1),(0,2),(1,3). Queremos calcular L_{3}(0.5), onde L_{3} é o polinômio de Lagrange de 3 o grau que aproxima os pontos dados. Considerando os pontos na ordem em que foram dados, responda:
Qual é o primeiro termo da fórmula de L_{3} ? \square
Qual é o segundo termo da fórmula de L_{3} ? \square
Qual é o terceiro termo da fórmula de L_{3} ? \square
Qual é o quarto termo da fórmula de L_{3} ? \square
Qual é o valor de L_{3}(0.5) ? \square
Passo 1
Enunciado e o que é pedido. Temos quatro pontos, na ordem dada:
Aqui x_j são as abscissas dos pontos dados e y_i os correspondentes valores. A ideia: \ell_i(x_k)=\delta_{ik} (valem 1 quando k=i e 0 quando k\neq i), então a soma reproduz exatamente os valores nos nós.
Passo 3
Calculemos o primeiro termo y_0\ell_0(x). Usando x_0=-2 e os outros x_j:
Mini-observação útil (estratégia de prova/avaliação rápida): dá para fatorar (x+2) em todos os termos não nulos e simplificar; também podemos notar que os quatro pontos obedecem à reta y=x+2 (verificação rápida: para x=-2,-1,0,1 obtemos 0,1,2,3), então o polinômio interpolador será exatamente L_{3}(x)=x+2 (o interpolador de grau 3 “colapsa” para a reta quando os dados são colineares). Mas vamos seguir para avaliar numericamente em x=0{,}5 mostrando conta direta.
Passo 8
Avaliação direta em x=0{,}5. Calculamos cada termo em x=0{,}5:
Termo 1: 0.
Termo 2: