Considere as seguintes afirmações sobre a cota superior do erro de truncamento |F(x)| ao interpolar f(x), dada pela fórmula a seguir:
|F(x)| \leq\left(\max _{s \in\left[x_{L}, x_{R}\right]}\left|\frac{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!}\right|\right)\left|\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) \cdots\left(x-x_{n}\right)\right|
Marque todas as afirmações verdadeiras.
Escolha uma ou mais:
\square a. Em geral, usar pontos base mais distantes da abcissa interpolada leva a um aumento no erro de truncamento.
\square b. O erro da interpolação em \times nunca é maior que
\left(\max _{s \in\left[x_{L}, x_{R}\right]}\left|\frac{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!}\right|\right)\left|\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) \cdots\left(x-x_{n}\right)\right|
\square c. O erro da interpolação em x pode ser diferente de 0 nos pontos base.

Passo 1

O enunciado pede que eu marque todas as afirmações verdadeiras sobre a cota superior do erro de truncamento |F(x)| dada por:
|F(x)| \le \left(\max_{s\in[x_L,x_R]}\left|\frac{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!}\right|\right)\left|\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right)\cdots\left(x-x_n\right)\right|.
Informações relevantes dadas:
  • Há uma cota (um limite superior) para o erro da interpolação em x, expressa pelo produto de duas partes: (i) o máximo em [x_L,x_R] do valor absoluto de \dfrac{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!} e (ii) o valor absoluto do produto \left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right)\cdots\left(x-x_n\right).
  • As afirmações a), b) e c) referem-se à interpretação dessa cota e ao comportamento do erro nos pontos base.

Passo 2

Explicando a fórmula e de onde ela vem (aula rápida e prática).
  • Quando interpolamos f por um polinômio P_n de grau n que passa por (x_i,f(x_i)) para i=0,\dots,n, o resto exato pode ser escrito (teorema do resto de Lagrange para interpolação) como
F(x)=f(x)-P_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\prod_{i=0}^n (x-x_i)
para algum \xi no intervalo que contém os nós e x. Aqui:
  • \xi depende de x e está no intervalo entre os nós (pressuposto: f^{(n+1)} existe e é contínua nesse intervalo);
  • \prod_{i=0}^n (x-x_i) é o produto das distâncias de x a cada nó x_i.
  • Tomando valor absoluto e substituindo \left|f^{(n+1)}(\xi)/(n+1)!\right|\le \max_{s\in[x_L,x_R]}\left|f^{(n+1)}(s)/(n+1)!\right|, obtemos exatamente a cota:
|F(x)| \le \left(\max_{s\in[x_L,x_R]}\left|\frac{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!}\right|\right)\left|\prod_{i=0}^n (x-x_i)\right|.
  • Interpretação prática: a cota é produto de (A) uma medida de “quão curva” é a função (pela derivada de ordem n+1) e (B) um fator geométrico que cresce quando x fica longe dos nós.

Passo 3

Analisando a afirmação a):
“a. Em geral, usar pontos base mais distantes da abcissa interpolada leva a um aumento no erro de truncamento.”
Raciocínio passo a passo:
  • O fator geométrico é \left|\prod_{i=0}^n (x-x_i)\right|. Se cada distância |x-x_i| aumenta (isto é, os nós x_i ficam, em média, mais distantes de x), então o produto absoluto tende a aumentar, fazendo a cota crescer.
  • Portanto, mantendo tudo o mais igual (mesmo f e mesmo intervalo de validade da derivada), afastar os nós de x normalmente aumenta a cota do erro.
  • Observação importante (cuidado na prova): a afirmação diz “em geral”, não “sempre”. Há situações em que mudar os nós altera também a primeira parte da cota, \max_{s\in[x_L,x_R]}\left|\dfrac{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!}\right|. Por exemplo, se ao deslocar os nós você restringe o intervalo onde se toma o máximo e isso reduzir bastante a derivada máxima, a cota poderia diminuir mesmo com nodos mais distantes. Ou seja: o efeito dominante costuma ser o aumento do produto de distâncias, logo a conclusão heurística é válida “em geral”.
  • Conclusão sobre (a): como a frase usa “em geral”, julgamos que ela descreve corretamente o comportamento típico do termo geométrico da cota. Logo (a) é verdadeira na interpretação habitual.

Passo 4

Analisando a afirmação b):
"b. O erro da interpolação em x nunca é maior que
\left(\max_{s\in[x_L,x_R]}\left|\frac{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!}\right|\right)\left|\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right)\cdots\left(x-x_n\right)\right|"
Raciocínio passo a passo:
  • Partindo do resto exato
F(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\prod_{i=0}^n (x-x_i),
temos, em valor absoluto,
|F(x)| = \left|\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\right|\left|\prod_{i=0}^n (x-x_i)\right|.
  • Pelo fato de \xi\in[x_L,x_R], vale
\left|\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\right| \le \max_{s\in[x_L,x_R]}\left|\frac{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!}\right|.
  • Substituindo isso na expressão do módulo do resto, obtemos exatamente a desigualdade apresentada. Logo essa cota é uma consequência direta do resto de Lagrange e da definição do máximo. Portanto, sob as hipóteses usuais (existência/continuidade de f^{(n+1)} no intervalo que contém nós e x), a afirmação b) é correta: o erro real não pode exceder essa cota.
  • Conclusão sobre (b): verdadeira (com as hipóteses padrão do teorema de resto).

Passo 5

Analisando a afirmação c):
“c. O erro da interpolação em x pode ser diferente de 0 nos pontos base.”
Raciocínio passo a passo:
  • Pela definição de interpolação, o polinômio interpolador P_n satisfaz P_n(x_i)=f(x_i) para cada nó x_i, por construção.
  • Portanto, o erro em um nó x_j é
F(x_j)=f(x_j)-P_n(x_j)=0.
  • Outra maneira de ver isso usando a fórmula do resto: no nó x_j o produto \prod_{i=0}^n (x_j-x_i) contém o fator (x_j-x_j)=0, logo o resto exato é zero ali.
  • Conclusão sobre (c): falsa — o erro em qualquer ponto base nunca é diferente de zero; é sempre zero.

Passo 6

Resumo final das verificações e resposta ao que o enunciado pede:
  • (a) — verdadeira (interpretação “em geral” aplicada ao comportamento do fator geométrico).
  • (b) — verdadeira (é a própria cota derivada do resto de Lagrange, sob as hipóteses usuais).
  • (c) — falsa (o erro nos nós é exatamente zero).

Resposta

a. Verdadeira
b. Verdadeira
c. Falsa

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