Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: os elementos de cada linha/coluna da matriz D como exibido acima. Não há indicação de troca de linhas (pivotamento) no enunciado, então vamos tentar a fatoração LU sem pivotamento.
Passo 2
Explicando a ideia (passo-a-passo e sem pular etapas): queremos obter L e U por eliminação de Gauss feita “na vertical”. Usamos a forma padrão (método de Doolittle) em que L tem 1 na diagonal principal e U é triangular superior. Em cada passo de eliminação, para zerar um elemento abaixo do pivô usamos um multiplicador (ou coeficiente) definido por
m_{ik}=\frac{a_{ik}}{a_{kk}},
onde a_{ik} é o elemento atual da matriz que queremos zerar e a_{kk} é o pivô (elemento da diagonal) do passo. Esse m_{ik} vai para a posição L_{ik}. Depois fazemos a operação na linha:
(observe que colocamos 1 na diagonal principal de L por convenção).
Passo 5
Agora passamos ao segundo pivô (na submatriz restante): o elemento u_{22} da matriz U^{(1)} é 1. Esse é o pivô do segundo passo. Precisamos zerar a entrada abaixo dele, isto é, u_{32}. Calculamos
(2,0,1)\cdot U = 2\cdot(2,4,6) + 1\cdot(0,0,0) = (4,8,12).
Esses resultados coincidem exatamente com as linhas de D, então a fatoração está correta.
Passo 7
Comentário adicional (útil para prova): note que U tem um zero na posição diagonal u_{33}. Isso indica que \det(D)=0 (matriz singular). Mesmo sendo singular, a fatoração D=LU sem pivotamento existiu neste caso. Em outras situações, se um pivô fosse zero, seria necessário trocar linhas (pivotamento) para obter uma fatoração PA=LU. Aqui não foi preciso porque os pivôs utilizados (a_{11}=2 e u_{22}=1) eram não nulos.