Encontre a fatoração LU da matriz:
D=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 4 & 6 \\ 1 & 3 & 5 \\ 4 & 8 & 12 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a fatoração LU da matriz D. Ou seja, encontrar matrizes L (triangular inferior) e U (triangular superior) tais que
D = LU.
A matriz dada é
D=\begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\\\ 1 & 3 & 5 \\\\ 4 & 8 & 12 \end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: os elementos de cada linha/coluna da matriz D como exibido acima. Não há indicação de troca de linhas (pivotamento) no enunciado, então vamos tentar a fatoração LU sem pivotamento.

Passo 2

Explicando a ideia (passo-a-passo e sem pular etapas): queremos obter L e U por eliminação de Gauss feita “na vertical”. Usamos a forma padrão (método de Doolittle) em que L tem 1 na diagonal principal e U é triangular superior. Em cada passo de eliminação, para zerar um elemento abaixo do pivô usamos um multiplicador (ou coeficiente) definido por
m_{ik}=\frac{a_{ik}}{a_{kk}},
onde a_{ik} é o elemento atual da matriz que queremos zerar e a_{kk} é o pivô (elemento da diagonal) do passo. Esse m_{ik} vai para a posição L_{ik}. Depois fazemos a operação na linha:
\text{linha}_i \leftarrow \text{linha}_i - m_{ik}\cdot \text{linha}_k.
Vou executar isso passo a passo com os números da matriz D.

Passo 3

Primeiro pivô: a_{11}=2 (não é zero, então podemos prosseguir).
Calcule os multiplicadores para zerar as entradas na coluna 1 abaixo do pivô:
m_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{1}{2}, \qquad m_{31}=\frac{a_{31}}{a_{11}}=\frac{4}{2}=2.
Agora aplicamos as eliminações às linhas 2 e 3:
  • Linha 2 nova:
\text{linha}_2 \leftarrow \text{linha}_2 - m_{21}\cdot\text{linha}_1
\text{linha}_2 = (1,3,5) - \tfrac{1}{2}\cdot(2,4,6).
Calcule componente a componente:
1 - \tfrac{1}{2}\cdot 2 = 1-1 = 0,
3 - \tfrac{1}{2}\cdot 4 = 3-2 = 1,
5 - \tfrac{1}{2}\cdot 6 = 5-3 = 2.
Logo a nova linha 2 é (0,1,2).
  • Linha 3 nova:
\text{linha}_3 \leftarrow \text{linha}_3 - m_{31}\cdot\text{linha}_1
\text{linha}_3 = (4,8,12) - 2\cdot(2,4,6).
Calcule:
4 - 2\cdot 2 = 4-4 = 0,
8 - 2\cdot 4 = 8-8 = 0,
12 - 2\cdot 6 = 12-12 = 0.
Logo a nova linha 3 é (0,0,0).

Passo 4

Após o primeiro estágio de eliminação, a matriz transformada (que será a forma inicial de U) é
U^{(1)}=\begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Os multiplicadores obtidos para a primeira coluna entram em L nas posições L_{21}=m_{21} e L_{31}=m_{31}. Até agora:
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\ \tfrac{1}{2} & 1 & 0 \\\\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}
(observe que colocamos 1 na diagonal principal de L por convenção).

Passo 5

Agora passamos ao segundo pivô (na submatriz restante): o elemento u_{22} da matriz U^{(1)} é 1. Esse é o pivô do segundo passo. Precisamos zerar a entrada abaixo dele, isto é, u_{32}. Calculamos
m_{32}=\frac{u_{32}}{u_{22}}=\frac{0}{1}=0.
Aplicando a eliminação na linha 3:
\text{linha}_3 \leftarrow \text{linha}_3 - m_{32}\cdot\text{linha}_2 = (0,0,0) - 0\cdot(0,1,2) = (0,0,0).
Portanto a terceira linha permanece nula. O U final é
U=\begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
e o elemento L_{32}=m_{32}=0. Assim L final é
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\ \tfrac{1}{2} & 1 & 0 \\\\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 6

Vamos verificar que L\cdot U = D (verificação útil na prova): multiplicamos linha a linha.
  • Linha 1 de L\cdot U:
(1,0,0)\cdot U = \text{linha}_1(U) = (2,4,6).
  • Linha 2:
(\tfrac{1}{2},1,0)\cdot U = \tfrac{1}{2}\cdot(2,4,6) + 1\cdot(0,1,2) = (1,2,3) + (0,1,2) = (1,3,5).
  • Linha 3:
(2,0,1)\cdot U = 2\cdot(2,4,6) + 1\cdot(0,0,0) = (4,8,12).
Esses resultados coincidem exatamente com as linhas de D, então a fatoração está correta.

Passo 7

Comentário adicional (útil para prova): note que U tem um zero na posição diagonal u_{33}. Isso indica que \det(D)=0 (matriz singular). Mesmo sendo singular, a fatoração D=LU sem pivotamento existiu neste caso. Em outras situações, se um pivô fosse zero, seria necessário trocar linhas (pivotamento) para obter uma fatoração PA=LU. Aqui não foi preciso porque os pivôs utilizados ( a_{11}=2 e u_{22}=1) eram não nulos.

Resposta

L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\ \tfrac{1}{2} & 1 & 0 \\\\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

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