A probabilidade de um caminhante aleatório dá N_{1} passos para a direita pode ser modelada pela distribuição gaussiana
P\left(N_{1}\right)=\frac{1}{\sqrt{6 \pi \times 10^{4}}} \exp \left[-\frac{\left(N_{1}-5 \times 10^{4}\right)^{2}}{6 \times 10^{4}}\right] .
Qual o desvio padrão da distribuição probabilidade?

Passo 1

O enunciado fornece a distribuição gaussiana para a variável aleatória N_{1}
P(N_{1}) = \frac{1}{\sqrt{6\pi\times10^{4}}}\exp\!\Bigl[-\tfrac{(N_{1}-5\times10^{4})^{2}}{6\times10^{4}}\Bigr]
e pede o desvio padrão. Para resolver, vamos usar a forma padrão da distribuição normal, em que
P(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\exp\!\Bigl[-\tfrac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\Bigr].

Passo 2

Comparamos o fator de normalização do enunciado
\frac{1}{\sqrt{6\pi\times10^{4}}}
com o fator padrão
\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\,.
Igualando os denominadores ao quadrado, temos
6\pi\times10^{4} \;=\; 2\pi\,\sigma^{2}\,.

Passo 3

Da igualdade
2\pi\,\sigma^{2}=6\pi\times10^{4}
cancelamos \pi e isolamos \sigma^{2}:
\sigma^{2}=\frac{6\times10^{4}}{2}=3\times10^{4}\,.

Passo 4

Tomando a raiz quadrada, obtemos o desvio padrão
\sigma=\sqrt{3\times10^{4}}\approx1,732\times10^{2}\approx173{,}2.

Resposta

O desvio padrão é
\sigma=\sqrt{3\times10^{4}}\approx173{,}2.

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