Estimou-se que nas próximas eleições para prefeito de nossa cidade, 30 % dos votos eram brancos. Com base nessa estimativa, calcule a probabilidade de que em uma amostra aleatória de 1000 votantes de nossa cidade:
a) Mais de 35 % votem em branco;
b) Entre 33 % e 37 % votem em branco.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá que em uma eleição para prefeito, 30% dos votos são brancos. A gente precisa calcular a probabilidade, usando essa estimativa, em duas situações diferentes numa amostra de 1000 votantes:
a) Mais de 35% votam em branco;
b) Entre 33% e 37% votam em branco.
Para resolver isso, vamos usar a Distribuição Normal como aproximação da Distribuição Binomial, já que o número de votantes é grande (1000). Precisamos entender conceitos como média, desvio padrão e a tabela Z da distribuição normal.

Passo 2

Vamos calcular a média (μ) e o desvio padrão (σ) da distribuição binomial. A média é dada por:
mu = n times p = 1000 times 0,30 = 300
E o desvio padrão é a raiz quadrada da variância, que é sigma = raiz1000 times 0,30 times 0,70 = raiz210 approx 14,49 :

Passo 3

Parte a) Queremos saber a probabilidade de mais de 35% dos votos serem brancos. Primeiro, calculamos quantos votos correspondem a 35%:
35% times 1000 = 350 votos
Agora, vamos usar a fórmula do Z para encontrar quantos desvios padrão 350 está acima da média:
Z = X - musigma = 350 - 30014,49 approx 3,45

Passo 4

Com o valor de Z calculado, consultamos a tabela da distribuição normal para encontrar a probabilidade correspondente. Um Z de 3,45 é bem alto, e a tabela nos mostra que a probabilidade de Z ser menor que 3,45 é quase 0,9997. Portanto, a probabilidade de Z ser maior que 3,45 (ou seja, mais de 35% votarem em branco) é:
P(Z > 3,45) = 1 - 0,9997 = 0,0003 ou 0,03%

Passo 5

Parte b) Agora, queremos a probabilidade de que entre 33% e 37% dos votos sejam brancos. Primeiro, calculamos os valores correspondentes a 33% e 37%:
33% times 1000 = 330 votos
37% times 1000 = 370 votos

Passo 6

Calculamos os valores de Z para 330 e 370 votos:
Z1 = 330 - 30014,49 approx 2,07
Z2 = 370 - 30014,49 approx 4,83

Passo 7

Consultando a tabela da distribuição normal:
  • Para P(2,07 < Z < 4,83) = P(Z < 4,83) - P(Z < 2,07) approx 1 - 0,9808 = 0,0192 ou 1,92% , a probabilidade acumulada é aproximadamente 0,9808.
  • Para , a probabilidade acumulada é praticamente 1, já que é um valor muito alto.
A probabilidade de Z estar entre 2,07 e 4,83 é:

Resposta

a) A probabilidade de mais de 35% dos votos serem brancos é aproximadamente 0,03%.
b) A probabilidade de entre 33% e 37% dos votos serem brancos é aproximadamente 1,92%.

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