Para estimar o tempo médio que funcionários levam para executar uma tarefa em certa empresa, um pesquisador escolheu uma amostra aleatória de 25 indivíduos, obtendo uma média de 400 e variância de 49, em segundos. Suponha que a execução de tarefas na população seja distribuída normalmente.
a) Quais são as estimativas, pontual e intervalar, para a média em estudo? Use alpha=5 %.
b) Com que confiança dir-se-ia que a média é de 400 pm 1,84 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Estatística, mais especificamente sobre estimativas de média em uma população que segue uma distribuição normal. A gente precisa achar a estimativa pontual e a estimativa intervalar para o tempo médio que os funcionários levam para executar uma tarefa. Para isso, vamos usar a amostra fornecida e aplicar testes de confiança com um nível de significância de 5%.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a estimativa pontual. É simplesmente o valor da média da amostra, que serve como uma “ponte” para estimar a média da população.
Aqui, a média da amostra é barx = 400 segundos. Então, nossa estimativa pontual para a média da população é 400 segundos.

Passo 3

Agora, vamos para a estimativa intervalar. Isso nos dá um intervalo dentro do qual esperamos que a média da população esteja, com um certo nível de confiança.
Como a população é normalmente distribuída e conhecemos a variância, usamos a distribuição t de Student para calcular o intervalo de confiança. A fórmula é:
barx pm talpha/2 times sraizn
Onde:
  • barx é a média da amostra (400),
  • talpha/2 é o valor crítico da distribuição t para o nível de confiança desejado,
  • s é o desvio padrão da amostra, que é a raiz quadrada da variância ( raiz49 = 7 ),
  • n é o tamanho da amostra (25).

Passo 4

Vamos encontrar o valor crítico talpha/2. Com um nível de confiança de 95% (já que alpha=5%), e n-1 = 24 graus de liberdade, consultamos a tabela t de Student.
O valor de t0,025 para 24 graus de liberdade é aproximadamente 2,064.

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula:
400 pm 2,064 times 7raiz25 = 400 pm 2,064 times 75 = 400 pm 2,064 times 1,4 = 400 pm 2,8896
Arredondando, temos:
400 pm 2,89

Resposta

a) A estimativa pontual para a média é 400 segundos e a estimativa intervalar com 95% de confiança é de 400 ± 2,89 segundos.
b) Com 95% de confiança, diríamos que a média está no intervalo 400 ± 1,84 segundos.

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