Considere a população
e todas as amostras possíveis de tamanho
, com reposição, retiradas dessa população. Sejam
e
as variáveis aleatórias que indicam o primeiro e o segundo elemento selecionados, respectivamente. O par
constitui uma amostra aleatória simples de
? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma população $ P = {0, 0, 0, 1, 2} $ e queremos pegar todas as possíveis amostras de tamanho $ n = 2 $ com reposição dessa população. As variáveis aleatórias $ X_1 $ e $ X_2 $ representam o primeiro e o segundo elemento que a gente seleciona. A pergunta é: o par $ (X_1, X_2) $ constitui uma amostra aleatória simples de $ P $? Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma amostra aleatória simples e como funciona a amostragem com reposição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma amostra aleatória simples (AAS). Basicamente, é uma amostra onde todas as possíveis combinações de elementos têm a mesma chance de serem escolhidas. Isso significa que cada subconjunto da população tem a mesma probabilidade de aparecer na amostra. Para garantir isso, geralmente usamos a amostragem sem reposição, onde uma vez que um elemento é selecionado, ele não volta para a população para ser escolhido novamente.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a amostragem com reposição. Nesse método, após selecionar um elemento, ele é colocado de volta na população, permitindo que ele possa ser escolhido novamente na mesma amostra. Isso significa que os mesmos elementos podem aparecer mais de uma vez na amostra. A vantagem desse método é que a probabilidade de selecionar cada elemento permanece constante em todas as etapas da seleção.
Passo 4
Vamos listar todas as possíveis amostras de tamanho $ n = 2 $ com reposição da população $ P = {0, 0, 0, 1, 2} $. Com reposição, podemos ter repetições. As possíveis amostras são:
- $ (0, 0) $
- $ (0, 0) $
- $ (0, 0) $
- $ (0, 1) $
- $ (0, 2) $
- $ (0, 1) $
- $ (0, 2) $
- $ (0, 1) $
- $ (0, 2) $
- $ (1, 0) $
- $ (1, 0) $
- $ (1, 0) $
- $ (1, 1) $
- $ (1, 2) $
- $ (2, 0) $
- $ (2, 0) $
- $ (2, 0) $
- $ (2, 1) $
- $ (2, 2) $
Passo 5
Agora, vamos verificar se todas essas amostras têm a mesma probabilidade de serem selecionadas, o que é uma condição essencial para ser uma AAS. Observando a lista, vemos que há repetições, especialmente dos pares $ (0, 0) $, $ (0, 1) $, $ (0, 2) $, $ (1, 0) $, e $ (2, 0) $. Isso ocorre porque a população original tem três zeros, tornando esses pares mais prováveis. Portanto, nem todas as amostras têm a mesma probabilidade de serem escolhidas.
Resposta
Não, o par $ (X_{1}, X_{2}) $ não constitui uma amostra aleatória simples de $ P $, pois as amostras não têm todas a mesma probabilidade de ocorrência.