Considere a população P=0,0,0,1,2 e todas as amostras possíveis de tamanho n=2, com reposição, retiradas dessa população. Sejam X1 e X2 as variáveis aleatórias que indicam o primeiro e o segundo elemento selecionados, respectivamente. Calcule P(barX=1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma população $ P = {0, 0, 0, 1, 2} $ e vamos tirar todas as amostras possíveis de tamanho $ n = 2 $ com reposição. As variáveis aleatórias $ X_1 $ e $ X_2 $ representam o primeiro e o segundo número que a gente tira. Nosso objetivo é calcular a probabilidade de que a média $ \bar{X} = 1 $. Para isso, vamos usar conceitos básicos de probabilidade e combinatória.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ \bar{X} = 1 $. A média das duas amostras é dada por:
barX = 1
Multiplicando ambos os lados por 2, temos:
barX = X1 + X22 = 1
Então, precisamos encontrar a probabilidade de que a soma dos dois números tirados seja igual a 2.

Passo 3

Como estamos tirando com reposição, cada seleção é independente. A população $ P $ tem 5 elementos, sendo três zeros, um 1 e um 2. Portanto, as probabilidades individuais são:
P

Passo 4

Agora, vamos listar todas as combinações possíveis de $ (X_1, X_2) $ que somam 2:
  1. $ (0, 2) $
  2. $ (1, 1) $
  3. $ (2, 0) $

Passo 5

Vamos calcular a probabilidade de cada uma dessas combinações ocorrer:
P(0, 2) = P(X1 = 0) times P(X2 = 2) = 35 times 15 = 325
P(1, 1) = P(X1 = 1) times P(X2 = 1) = 15 times 15 = 125
P(2, 0) = P(X1 = 2) times P(X2 = 0) = 15 times 35 = 325
Agora, somamos essas probabilidades para encontrar o total:
P(barX = 1) = 325 + 125 + 325 = 725 = 0,28

Resposta

A probabilidade $ P(\bar{X} = 1) $ é igual a $ \frac{7}{25} $ ou 0,28.

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