Considere a população
e todas as amostras possíveis de tamanho
, com reposição, retiradas dessa população. Sejam
e
as variáveis aleatórias que indicam o primeiro e o segundo elemento selecionados, respectivamente. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma população $ P = {0, 0, 0, 1, 2} $ e vamos tirar todas as amostras possíveis de tamanho $ n = 2 $ com reposição. As variáveis aleatórias $ X_1 $ e $ X_2 $ representam o primeiro e o segundo número que a gente tira. Nosso objetivo é calcular a probabilidade de que a média $ \bar{X} = 1 $. Para isso, vamos usar conceitos básicos de probabilidade e combinatória.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ \bar{X} = 1 $. A média das duas amostras é dada por:
Multiplicando ambos os lados por 2, temos:
Então, precisamos encontrar a probabilidade de que a soma dos dois números tirados seja igual a 2.
Passo 3
Como estamos tirando com reposição, cada seleção é independente. A população $ P $ tem 5 elementos, sendo três zeros, um 1 e um 2. Portanto, as probabilidades individuais são:
Passo 4
Agora, vamos listar todas as combinações possíveis de $ (X_1, X_2) $ que somam 2:
- $ (0, 2) $
- $ (1, 1) $
- $ (2, 0) $
Passo 5
Vamos calcular a probabilidade de cada uma dessas combinações ocorrer:
Agora, somamos essas probabilidades para encontrar o total:
Resposta
A probabilidade $ P(\bar{X} = 1) $ é igual a $ \frac{7}{25} $ ou 0,28.