Considere a população P=0,0,0,1,2 e todas as amostras possíveis de tamanho n=2, com reposição, retiradas dessa população. Sejam X1 e X2 as variáveis aleatórias que indicam o primeiro e o segundo elemento selecionados, respectivamente. Calcule P(X1=0, X2=0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma população $ P = {0, 0, 0, 1, 2} $ e queremos tirar amostras de tamanho 2, com reposição. A gente quer calcular a probabilidade de, na primeira e na segunda retirada, a gente pegar o número 0. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre probabilidade com reposição e como calcular probabilidades de eventos independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos contar quantos elementos a nossa população tem. Vemos que $ P $ tem 5 elementos: três zeros, um 1 e um 2. Isso significa que a probabilidade de tirar um 0 em qualquer retirada é baseada na quantidade de zeros na população.

Passo 3

Como estamos tirando com reposição, cada retirada é independente. Ou seja, o que a gente tira na primeira vez não afeta a segunda retirada. Então, vamos calcular a probabilidade de tirar 0 na primeira vez e, em seguida, multiplicar pela probabilidade de tirar 0 na segunda vez.

Passo 4

A probabilidade de tirar um 0 na primeira retirada ($ P(X_1 = 0) $) é o número de zeros dividido pelo total de elementos. Temos 3 zeros e 5 elementos no total, então:
P(X1 = 0)

Passo 5

Como a retirada é com reposição, a população volta ao estado original depois da primeira retirada. Assim, a probabilidade de tirar um 0 na segunda retirada ($ P(X_2 = 0) $) também é:
P(X2 = 0)

Passo 6

Agora, para encontrar a probabilidade conjunta de tirar 0 na primeira e na segunda retirada ($ P(X_1 = 0, X_2 = 0) $), a gente multiplica as duas probabilidades:
P(X1 = 0, X2 = 0)

Resposta

A probabilidade $ P(X_{1}=0, X_{2}=0) $ é $ \frac{9}{25} $.

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