Considere a população
e todas as amostras possíveis de tamanho
, com reposição, retiradas dessa população. Sejam
e
as variáveis aleatórias que indicam o primeiro e o segundo elemento selecionados, respectivamente. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma população $ P = {0, 0, 0, 1, 2} $ e queremos tirar amostras de tamanho 2, com reposição. A gente quer calcular a probabilidade de, na primeira e na segunda retirada, a gente pegar o número 0. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre probabilidade com reposição e como calcular probabilidades de eventos independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos contar quantos elementos a nossa população tem. Vemos que $ P $ tem 5 elementos: três zeros, um 1 e um 2. Isso significa que a probabilidade de tirar um 0 em qualquer retirada é baseada na quantidade de zeros na população.
Passo 3
Como estamos tirando com reposição, cada retirada é independente. Ou seja, o que a gente tira na primeira vez não afeta a segunda retirada. Então, vamos calcular a probabilidade de tirar 0 na primeira vez e, em seguida, multiplicar pela probabilidade de tirar 0 na segunda vez.
Passo 4
A probabilidade de tirar um 0 na primeira retirada ($ P(X_1 = 0) $) é o número de zeros dividido pelo total de elementos. Temos 3 zeros e 5 elementos no total, então:
Passo 5
Como a retirada é com reposição, a população volta ao estado original depois da primeira retirada. Assim, a probabilidade de tirar um 0 na segunda retirada ($ P(X_2 = 0) $) também é:
Passo 6
Agora, para encontrar a probabilidade conjunta de tirar 0 na primeira e na segunda retirada ($ P(X_1 = 0, X_2 = 0) $), a gente multiplica as duas probabilidades:
Resposta
A probabilidade $ P(X_{1}=0, X_{2}=0) $ é $ \frac{9}{25} $.